Курс лекций по высшей математике. 1 часть

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые

в

(2.12),

получим

Ax By (

A x0

B y0)

0 .

Обозначим

A x0

B y0

C ,

уравнение

примет вид

Ax

By

C

0 .

(2.13)

(2.13) – общее уравнение прямой на плоскости.

Если в уравнении (2.13) A ,

B , C

0 , то, перенеся слагаемое С в

правую часть и разделив на него обе части уравнения, получим

Ax

By

1 ,

или

x

y

1 .

Обозначим

C

a

,

C

b ,

A

B

C

C

C

C

A

B

тогда уравнение примет вид

x

y

1

(2.14)

a

b

лучим y

C

b , а при

y 0

x

C

a .

B

A

x x0

y y0

.

(2.15)

m

n

Используя

уравнение

(2.15),

получим

x

x0

y y0

, или

cos

sin

y y0

sin

( x x0 ) . Обозначив

sin

tg

k

( k

– угловой коэф-

cos

cos

фициент прямой), получим уравнение

y

y0 k( x

x0 ) .

(2.18)

Рис. 23

Выразив из (2.18)

y :

y

kx

( y0

k x0)

и обозначив y0

kx0

b ,

получим

y

kx

b .

(2.19)

(2.18), (2.19) – уравнения прямой с угловым коэффициентом. В

уравнении (2.19) b – ордината точки пересечения прямой с осью Oy .

Угол между двумя прямыми. Пусть прямые l1 и l 2 заданы соот-

ветственно

уравнениями

y

k1x

b1 ,

y

k2 x

b2 ,

где

k1 tg

1 ,

k 2 tg 2 .

Обозначим

угол между прямыми:

(l1

l 2)

(рис. 24).

Тогда

, tg

tg (

)

tg

2

tg

1

k 2

k1

.

2

1

2

1

1

tg 1tg

1

k1 k 2

2

(x0 , y0) (рис. 25). Обозначим

M 1 (x1, y1) –

основание перпендикуляра,

опущенного из точки M 0 на прямую l ,

d

M1 M 0 ,

d – расстояние от

точки M 0 до прямой l . Тогда

M1 M 0

(x0

x1; y0

y1) , а n (A; B) –

С одной стороны,

n M 1 M 0

n

M 1 M 0

cos n

M 1 M 0

A2

B2 d ,

так как n

M1 M 0 ,

следовательно,

угол между ними 0

или180

. С дру-

гой

стороны,

B y0 (A x1 B y1) ,

n M1 M 0 A(x0

x1) B( y0

y1)

A x0

но точка M 1

l , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению

Ax1

By1

C

0 ,

откуда

Ax1 By1

C ,

поэтому

n M 1 M 0

Ax0

By0

C . Приравнивая выражения, получим

Ax0

By0

C

или

A2 B2

d

Ax0

By0 C . Тогда d

A2

B2

d

Ax0

By0

C

.

(2.21)

A2 B2

Рис. 25

Пример 12. Прямая l задана уравнением 2x 3y 6

0 . Соста-

вить уравнения а) прямой l1 ,

проходящей через точку K (5;

4) парал-

лельно прямой l ; б) прямой

l 2 , проходящей через начало координат

перпендикулярно прямой l .

вектор этой прямой n

(2;

3) . Этот вектор перпендикулярен и прямой

l1 (рис.

26). Таким образом, для

l1 известен нормальный вектор n

и

точка K

l1 . Воспользуемся уравнением (2.12): 2(x

5) 3( y

4)

0

или 2x

3y 22

0 – уравнение

l1 . Для прямой l2

вектор

n

(2;

3)

является

направляющим

и точка

l2 .

Воспользуемся

( n

l2 )

O( 0;0 )

уравнением (2.15):

x

0

y 0

, или 3x

2y , или

3x

2y

0 – урав-

2

3

Рис. 26

2-й способ. Запишем уравнение прямой l в виде

y

2

x 2 . Най-

3

2

дем угловой коэффициент прямой l :

k

. Прямая

l

l , следователь-

3

1

но, ее угловой коэффициент

k1

k

2

; прямая l2 l , поэтому ее угло-

3

вой коэффициент k 2

1

3

. Зная угловой коэффициент прямой и

k

2

(2.18). Получим уравнение прямой l

: y

4

2

(x 5)

или, умножив

1

3

обе

части

на

3, 2x 3y

22

0 ,

и

уравнение

прямой l2 :

y 0

3

(x

0) , то есть 3x

2y

0 .

2

Пример 13.

В треугольнике с

вершинами A( 3; 2) , B(1; 4) ,

C(5; 6) составить уравнения медианы

AM , высоты BH , найти длину

высоты BH (рис.

27).

Рис. 27

Решение. M – середина отрезка BC ,

ее координаты найдем по

формулам (2.7): x

1

5

3 , y

4

6

1, то есть

M (3; 1) . Таким

2

2

образом, на медиане известны две точки

A и M . Воспользуемся урав-

нением (2.17):

x

3

y

2

, или

x

3

y

2

– уравнение медианы

3

3

1

2

6

1

AM . Его можно привести к виду x

6y

9

0 . Для составления урав-

нения высоты BH

найдем

AC

(8;

4)

– нормальный вектор прямой

ВН. Воспользуемся уравнением (2.12): 8(x

1)

4( y

4)

0 . Разделив

на 4 и раскрыв скобки, получим 2x

y

2

0 – уравнение BH . Соста-

вим уравнение прямой

AC , используя уравнение (2.15) и рассматривая

x

3

y

2

;

AC как направляющий вектор:

4(x

3)

8( y 2) , или

8

4

x 2y 7 0 . Тогда длину высоты

BH

найдем по формуле (2.21) как

расстояние от точки B(1; 4 ) до прямой AC : d

2

4

7

16

.

1

2

2

2

5

1

По определению МF

МF 2а.

1

2

Но

М F

х

с 2

у 2

,

М F

х с 2 у 2 , следовательно,

1

2

х с 2

у 2

х

с 2

у 2