Курс лекций по высшей математике. 1 часть

В примере 21 найти фундаментальную систему решений и выразить с ее помощью общее решение этой системы.

Из общего решения (1.20) системы найдем фундаментальную систему решений.

С использованием фундаментальной системы общее решение можно записать в виде

X (C1,C2 ) C1E1 C2 E2.

33

ГЛАВА II.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

§ 1. Векторы. Основные понятия

Вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор

AB , AB , a , a , AB, a (А – начало вектора, В – его конец).

Нулевым вектором (обозначается 0 ) называется вектор, начало и конец которого совпадают.

Расстояние между началом и концом вектора называется его дли-

ной, или модулем, или абсолютной величиной (обозначается a , AB ).

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых (обозначают ab , а также

Для каждого вектора a , отличного от нулевого вектора, существует противоположный вектор, который обозначается a и удовлетворя-

ет условиям: a a , a a .

§ 2. Линейные операции над векторами

Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Сложение векторов. Пусть a и b – два произвольных вектора.

Возьмем произвольную точку О и построим вектор OA a ; затем от

точки А отложим вектор AB b . Вектор OB , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих

векторов и обозначается a b (рис. 1).

34

Если векторы a и b привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (рис. 4).

Рис. 4

Таким образом, если на векторах a и b , отложенных из общей

точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор OC , совпадаю-

щий с одной диагональю, равен сумме a b , а вектор BA , совпадаю-

щий с другой диагональю, – разности a b (рис. 5).

Рис. 5

Умножение вектора на число. Произведением вектора a на дей-

ствительное число называется вектор b (обозначают b a ), определяемый следующими условиями:

36

(рис. 6).

Рис. 6

Из определения следует: два вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство b a :

§ 3. Проекция вектора на ось

Углом между двумя ненулевыми векторами a и b называется наименьший угол ( 0 ), на который надо повернуть один из

37

векторов до его совпадения со вторым. Предварительно нужно привести векторы к общему началу О (рис. 7).

Рис. 7

Под углом между вектором a и осью l понимают угол между векторами a и l 0 (рис. 8).

Рис. 8

Пусть l – некоторая ось, а AB – вектор, произвольно расположенный в пространстве. Обозначим A1 и B1 – проекции на ось l со-

ответственно начала А и конца В этого вектора (рис. 9). Вектор A1 B1 называется составляющей вектора AB по оси l .

Рис. 9

38

Проекцией вектора AB на ось l (обозначается пр l AB ) называется

Заметим, что проекция вектора на ось и его составляющая связаны

лелограмма равны, если этот параллелограмм – прямоугольник. Следо-

Рис. 10

39