Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владивостокский государственный университет экономики и сервиса

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Курс лекций по высшей математике. 1 часть

.pdf

Скачиваний:

189

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Рис. 42

Пример

20.

Найти

полярное

уравнение

окружности

х 2

R 2

R 2 .

Решение. Запишем уравнение в виде х 2

у2

2Rу

R 2 R 2 , или

х 2

у2

2Rу.

Воспользуемся

формулами

(2.25):

2 cos 2

2 sin 2

sin

; 2 cos 2

sin 2

2Rp sin

;

2R sin –

искомое уравнение.

§ 13. Плоскость в пространстве

Пусть Мо(хо, уо, zо) – заданная точка в плоскости

= (А; В; С) –

вектор,

перпендикулярный плоскости ,

его

называют

нормальным

вектором плоскости, и пусть М(х, у, z) – произвольная точка плоскости


(рис. 43). Тогда М о М	х х о ; у	у о ; z	z о ,		n	М о М 0 , то есть
А(х х о )	В у уо	С z	zо	0.		(2.28)

(2.28) – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

			Рис. 43
Раскрыв	скобки	и	сгруппировав слагаемые,		получим
Ах Ву Сz	Ахо Вуо Сzо			0. Обозначим Ахо Вуо	Сzо
Д , уравнение примет вид
	Ах	Ву	Сz	Д 0.	(2.29)

(2.29) – общее уравнение плоскости.
Если в этом уравнении А, В, С, Д					0, то его можно привести к виду
	х	у	z	1.	(2.30)

	а	в	с
	а	в	с

(2.30) – уравнение плоскости в отрезках (аналогично (2.14)). Здесь а, в, с

– отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.

Пусть заданы три точки в плоскости: М1(х1, у1, z1), М2(х2, у2, z2), М3(х3, у3, z3), и пусть М(х, у, z) – произвольная точка плоскости (рис.44).


Тогда		М1М	х х1 , у у1 , z	z1 , М1М2 х 2 х1, у2 у1, z2 z1 ,
	М1М 3	х 3	х1 , у3 у1 , z 3	z1 . Эти векторы компланарны (лежат в

одной плоскости), следовательно, их смешанное произведение равно

нулю: М1М М1М 2 М1М 3 0 , или через координаты

х	х1	у	у1	z	z1
х 2	х1	у 2	у1	z 2	z1	0.	(2.31)
х 3	х1 у3		у1 z3		z1

(2.31) – уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Рис. 44

Неполные уравнения плоскостей

Если в уравнении плоскости Ах Ву Сz Д 0 какие-либо из ко-

эффициентов равны нулю, то получится неполное уравнение плоскости. Пусть, например, Д 0. Уравнение имеет вид Ах Ву Сz 0 и

определяет плоскость, проходящую через начало координат (координаты точки О(0; 0; 0) удовлетворяют уравнению).

Пусть С 0. Уравнение имеет вид Ах Ву Д 0 и определяет плоскость, параллельную оси Оz или проходящую через ось Оz при


Д 0. Действительно, тогда n		А; В; 0 , то есть	n	Оz , а плоскость
	Оz .
	Оz .
	Пусть В С 0. Уравнение	имеет вид Ах	Д	0 и определяет

плоскость, параллельную плоскости Оуz или совпадающую с ней при

0. Действительно, n

А; 0; 0 , то есть n

Ох ,

а плоскость

Ох ,

или

Оуz .

Аналогично можно рассмотреть другие случаи.

Угол между двумя плоскостями

Пусть

плоскости

и 2 заданы соответственно уравнениями

А1х В1у

С1z

Д1 0 ,

А2 х В2 у С2z Д2

0 , где n1

А1 , В1 ,

С1

и n 2

А 2 , В2 , С 2

–

нормальные векторы этих плоскостей (рис.

45). Очевидно,

1 ,

n1, n 2 , тогда косинус угла между плос-

костями


cos		n1 n 2				А1А 2	В1В2			С1С2		.	(2.32)
cos												.	(2.32)
	n1		n 2		А 2	В2	С2		А 2	В2	С2
				1		1	1	2		2	2

Рис. 45

2 ,

–

Если

то

n 2

условие параллельно-

сти плоскостей.

A 2

C 2

Если

2 ,

то

n 2

0 ,

то

есть

А1А2 В1В2

С1С2

0 – условие перпендикулярности плоскостей.

Расстояние от точки до плоскости

Если

Мо

х о , уо , zо

–

заданная

точка и

Ах Ву Сz Д

0 –

уравнение плоскости , то расстояние от точки Мо

до плоскости

оп-

ределяется по формуле:

Ахо

Вуо

Сz о

(2.33)

А 2

В2

С2

(доказывается аналогично (2.21)).

§ 14. Прямая в пространстве

Прямую в пространстве можно задать уравнениями, аналогичными уравнениям прямой на плоскости:

х х о	у уо	z z о	(2.34)
m	n	p	(2.34)
m	n	p

– канонические уравнения, здесь хо, уо, zо – координаты заданной точки на прямой, а m, n, p – координаты направляющего вектора прямой (вектора, параллельного прямой);

х mt x o , y nt yo , z pt zo

(2.35)

– параметрические уравнения прямой;

х	х1	у	у1	z	z1	(2.36)
х 2	х1	у 2	у1	z 2	z1

– уравнения прямой, проходящей через две данные точки М1(х1, у1, z1) и

М2(х2, у2, z2).

Прямую в пространстве можно задать также как линию пересече-

ния

двух

плоскостей.

Если

уравнения

этих

плоскостей

А1х

В1у

С1z

Д1

А 2 х

В2 у

С2 z Д 2

0 ,

где

А1 , В1 , С1 ,

n 2

А 2 , В2 , С 2

– их нормальные векторы, то урав-

нения прямой (их линии пересечения) имеют вид

А1х В1у С1z Д1

0 ,

(2.37)

А 2 х В2 у С2 z Д 2

0 ,

(2.37) – общие уравнения прямой в пространстве.

Для нахождения какой-нибудь точки на этой прямой достаточно придать одной из переменных конкретное числовое значение (например, х = 0), подставить его в систему (2.37) и решить ее относительно двух оставшихся переменных.

Направляющий вектор прямой (2.37) можно найти как векторное произведение нормальных векторов пересекающихся плоскостей:

а n1 х n 2 .

Пример 21. Записать канонические уравнения прямой, заданной

общими уравнениями

2х у 3z 4 0 , х у 4z 1 0 .

Решение. Найдем точку на прямой. Пусть, например, z = 0. Система

примет

вид

2х

у 4 0 ,

Сложив

уравнения, получим

3х 3 0 ,

0 .

х 1. Тогда из второго уравнения у

1 2. Точка на прямой А(1;

-2;

0).

Найдем

направляющий

вектор

этой прямой:

n1 х n 2

11j

1;11; 3 .

Получим канонические

уравнения

прямой

Угол между прямыми

Пусть

прямые

и 2

заданы

каноническими

уравнениями

х х1

у у1

z z1

х х 2

у у 2

z z 2

. Очевидно, угол ме-

р1

m 2

n 2

р 2

жду прямыми равен углу между направляющими векторами этих пря-

мых:

1 , 2

. Тогда

а1 , а 2

cos

а1 а 2

m1m2

n1n 2

p1p2

(2.38)

а1

а 2

n 2

Если 1

2 ,

р1

то а1

а 2

2 ,

m 2

n 2

р 2

Если

то

а1

а 2

а1

а 2

0 ,

или m1m2

n1n 2

р1р 2

0 .

§ 15. Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть

плоскость

задана

уравнением

Ах Ву Сz Д 0 ,

А; В; С –

ее нормальный вектор, а прямая

задана уравнениями

х о

уо

z о

m; n; p –

направляющий вектор прямой.

Обозначим

– угол между прямой и плоскостью,

а, n –

угол между

соответствующими

векторами (рис.46).

Очевидно,

, а

cos

sin ,

или sin

cos

. Но cos

, тогда

синус угла между прямой и плоскостью можно найти по формуле

sin

n a

(2.39)

A 2

B2 C2

m 2

n 2 p 2

		Рис. 46
Если
Если	, то n а (рис. 47), то есть n а		0 , или
		Аm Вn Ср 0	(2.40)

–условие параллельности прямой и плоскости. При этом же условии прямая лежит в плоскости.

Рис. 47

Если

то

(рис. 48), то есть

– условие перпен-

дикулярности прямой и плоскости.

Пусть

требуется

найти

точку

пересечения

прямой

х х о y

z z о

плоскости Ах

Ву

Сz

Д 0.

Запишем

параметрические уравнения прямой х

x o ,

yo ,

z pt z о

и подставим выражения для х, у, z в уравнение плоскости. Получим уравнение вида Mt N относительно параметра t. Выразив t и подста-

вив в параметрические уравнения, найдем координаты точки пересечения.

Рис. 48

Замечание. Если уравнение относительно t примет вид 0t = 0 (то есть M = N = 0), то любое действительное значение t будет его решением, значит, прямая и плоскость имеют множество общих точек, то есть прямая лежит в плоскости.

Если уравнение относительно t примет вид 0 t = N (то есть М = 0, N 0), то такое уравнение решений не имеет, значит, прямая и плоскость не имеют общих точек, то есть прямая параллельна плоскости.

Пример 22. Найти точку пересечения прямой	х 1	у 1	z 4	и
	2	1	3

плоскости 3х у 5z 6 0.

Решение. Запишем параметрические уравнения прямой: х 2t 1,

у	t	1, z	3t	4. Подставим эти выражения в уравнение плоскости:
3 2t	1	t	1	5 3t 4 6 0 ,	6t 3 t 1 15t 20 6 0 ,

22t

22 ,

1. Из параметрических уравнений получим х

2 ,

Следовательно,

точка

пересечения

прямой

плоскости

А 3;

1 .

Пример 23.

Показать,

что

прямая

z 3

лежит в

плоскости 7х

5у

Решение. 1-й способ. Используем параметрические уравнения пря-

мой

t 2 ,

3. Подставим в уравнение плоскости:

7 t

6 2t

1 0 ,

12t

18 1

0 ,

0 – получили равенство,

верное при любых

R . Следовательно,

прямая лежит в плоскости.

2-й

способ.

1; 2 –

направляющий

вектор

прямой,

– нормальный вектор плоскости.

n ,

значит, прямая параллельна плоскости или лежит в плоскости (из усло-

вия (2.40)). Точка Мо 1;	2; 3 принадлежит прямой и ее координаты
удовлетворяют уравнению	плоскости: 7 1 5 2 6 3 1 0 , 0 0 ,
значит, прямая лежит в плоскости.

§ 16. Поверхности второго порядка

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой . Линия L при этом называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих поверхность и параллельных прямой , – ее образующей (рис.49).

Рис. 49

Если направляющая цилиндрической поверхности лежит в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости, то уравнение такой поверхности совпадает с уравнением направляющей L, то есть содержит только две переменных.

Так, уравнение	х 2	у 2	1 определяет эллиптический цилиндр.
	а 2	в 2

Направляющая этой поверхности – эллипс, лежащий в плоскости Оху, а образующие параллельны оси Оz (рис. 50).

			Рис. 50
Уравнение	у 2	z 2	1 определяет гиперболический цилиндр. Его
Уравнение	а 2	с 2	1 определяет гиперболический цилиндр. Его
	а 2	с 2

направляющая – гипербола, лежащая в плоскости Оуz, образующие параллельны оси Ох (рис. 51).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202535 Кб0кр задачи.docx
#
13.04.2015116 Кб17кречмер.docx
#
15.03.2016122 Кб49КСЕ Тезаурус 2009 г..doc
#
15.03.2016614 Кб145КСЕ. Конспект лекций.Часть_1.doc
#
15.03.2016335 Кб50КСЕ. Конспект лекций.Часть_2.doc
#
13.04.20154 Мб189Курс лекций по высшей математике. 1 часть.pdf
#
13.04.20154 Мб87Курс лекций по высшей математике. 2 часть.pdf
#
01.07.2025627 Кб9курсач 3курс - копия.docx
#
13.09.2019254 Кб51Курсач.rtf
#
17.09.20192 Мб35КУРСОВАЯ ВАСИЛЬЕВА.doc
#
13.04.201577 Кб114курсовая живопись Ямаева.docx