Курс лекций по высшей математике. 2 часть

3)Выберем

наибольшее

и

наименьшее

из

найденных

значений:

z A

2,

z B

4,

z E

1

11

,

z С

2,

z D 1.

Получим

12

zнаиб

z B

4,

zнаим

z D

1, где B 1;1 ,

D

1

;

1

.

2

2

функция u u x, y, z . В этом случае говорят, что в области

D задано

скалярное поле, а функцию u u x, y, z называют функцией

поля (на-

помощью линий уровня u x, y

C

(например, изотермы на картах си-

ноптиков).

Пусть задана дифференцируемая

функция

скалярного

поля

u

u x, y, z .

z

Рассмотрим точку P x, y, z

этого

P1

поля и луч , выходящий из точки P

γ

в

направлении единичного вектора

β

P

0

cos α; cos β; cos γ ,

где α, β, γ –

α

углы,

образованные вектором

0 с

осями

координат

(рис.18).

Пусть

0

P1 x

x, y y,z

z

– какая-нибудь

другая точка этого луча. Обозначим

Рис. 18

PP

x2

y2

z 2

–

рас-

1

стояние между точками P и

Ρ1 ; называют величиной перемещения.

Приращением функции

в

направлении назовем разность

u u Ρ1 u Ρ .

Производной функции

u

u x, y, z в точке P по направлению

направлении

к величине перемещения

при

0 :

u

lim

u

.

0

Заметим: если

u

0 в точке P,

то функция в этом направлении

возрастает, если

u

0

– убывает. Можно сказать, что производная по

направлению дает скорость изменения функции в этом направлении.

По

условию функция

u

u x, y, z

дифференцируема,

значит,

ее

полное

приращение

можно

представить

в

виде

u

u

u

u

x

y

z

0

,

где

x2

y 2

z 2

.

Раз-

x

y

z

делим обе части на

:

u

u

x

u

y

u

z

0

.

x

y

z

Перейдем

к

пределу

при

0 ,

учитывая,

что

x

cos

,

y

cos

,

z

cos

,

lim

u

u

,

lim

0

0 . Получим фор-

0

0

мулу

вычисления

производной

по

направлению:

u

u

cos

u

cos

u

cos .

x

y

z

Если направление

совпадает с направлением какой–либо из осей

координат,

то

u

совпадает с соответствующей частной производ-

ной.

Пусть,

например,

луч

направлен

по

оси

Oy.

Тогда

0

u

u

.

j

0;1;0 , то есть cos

cos

0 , cos

1 и

y

Для

плоского

скалярного

поля

u

u

cos α

u

cos β

x

y

u

cos α

u

sin α .

x

y

u

u

u

u

u

u

gradu

,

,

, или gradu

i

j

k .

x

y

z

x

y

z

u

u

u

u

0

cos α

cos β

cos γ

gradu

gradu

cos ,

где

x

y

z

0 . Из этого равенства следует, что

–угол между векторами gradu и

u

принимает наибольшее значение,

когда

cos

1, то есть

0 ,

Пример.

Найти

скорость

изменения

функции

u

x2

y 2

z 2

в

точке P 1;1;1

в направлении вектора

2i

j

3k . Найти наибольшую

скорость возрастания этой функции в точке P.

Решение. Скорость изменения функции в направлении вектора

дает производная по направлению

u

. Найдем значения частных про-

изводных

в

точке

P 1;1;1 :

u

2 ;

u

2 y

2 ;

2x

x 1

y

1

x

y

u

22

12

32

2z

z

1

2 . Найдем длину вектора

:

14 , то-

z

cos α

2

, cos β

1

, cos γ

3

гда

и

14

14

14

u

2

2

2

1

2

3

12

–скорость

изменения

функции

в

14

14

14

14

u

направлении

(функция возрастает,

так как

0 ). Наибольшую

скорость

возрастания

дает

модуль

градиента.

gradu

2;2;2 ,

22

22

22

gradu

2 3 –наибольшая скорость возрастания функ-

ции в точке P.

порядок уравнения. Так,

уравнение F(x, y, y ) 0 является уравнением

первого порядка, уравнение F x, y, y , y

0 –уравнением второго по-

рядка.

Всякая функция y

x , которая,

будучи подставлена в диффе-

Например,

функция

y sin x

является решением

уравнения

y y

0 .

Простейшим дифференциальным уравнением первого порядка яв-

ляется уравнение

y f x

или dy

f x dx , где y–неизвестная функция

от x, а

f x –заданная функция. Для того чтобы определить неизвест-

ную функцию y,

нужно проинтегрировать данную функцию

f x . При

значит найти все его решения в данной области.

Ясно, что y

f x dx C , где C –произвольная постоянная, а под

интегралом понимается одна из первообразных функций f

x , является

общим

решением

простейшего дифференциального

уравнения

y f

x , где f x –непрерывная функция.

Выбирая надлежащим образом постоянную C , при условии непре-

рывности функции

f x можно получить любое решение этого про-

стейшего дифференциального уравнения.

Функция y

x,С , удовлетворяющая дифференциальному урав-

Дифференциальное уравнение первого порядка F x, y, y

0

мож-

но,

разрешив

относительно производной, представить

в

виде

y

f x, y или

dy

f x, y .

dx

Задача

отыскания решения дифференциального

уравнения

y f x, y

, удовлетворяющего начальному условию y y0

при x x0 ,

выясняется теоремой существования.

Теорема существования и единственности решения. Если функ-

ция

f x, y

непрерывна в области, содержащей точку

M0

x0, y0 , то

уравнение

y

f x, y

имеет решение y y x

такое, что y x0

y0 .

Если,

кроме того,

непрерывна и частная производная

f

, то это

y

решение уравнения единственно.

Укажем

основное свойство

общего решения. Общее

решение

y

x,C

дифференциального

уравнения

y f x, y

обладает тем

свойством,

что из него по любому заданному начальному условию

y x0

y0

может быть найдено частное решение, удовлетворяющее

этому условию.

Это означает, что, подставляя в общее решение значения

x0 и y0 ,

мы получаем уравнение относительно C : y0

x0 ,C , из которого мо-

f x dx g y dy

(1)

а правую–по y:

f

x dx

g y dy

C , где под интегралом понимается

одна из первообразных подынтегральной функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравне-

нием с разделяющимися переменными, если оно имеет вид:

M1 x N1 y dx

M2 x N2

y dy

0 ,

(2)

где M1 x , M2

x –функции только переменной x, а N1

y и N2

y –

функции только переменной y.

Легко разделить переменные, если, предположив, что произведение

множителей N1

y

M2

x 0 , поделить оба слагаемых уравнения (2) на

это произведение. Тогда получим

M1 x

dx

N2

y

dy

0 . Интегрируя,

M 2

x

N1

y

запишем

M1 x

N2

y

dx

dy

C .

M 2

x

N1

y