Курс лекций по высшей математике. 2 часть
.pdfРешение. В момент t заряд конденсатора q и сила тока i |
dq |
. К |
|
dt |
|||
|
|
этому же моменту t в цепи действует электродвижущая сила V, равная
разности между напряжением цепи E и напряжением конденсатора |
q |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
||
то есть V |
|
|
E |
|
q |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По закону Ома сила тока i |
|
|
V |
|
, или, иначе, |
|
|
|
dq |
|
|
V |
|
E |
|
|
q с |
, от- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
куда |
dq |
|
|
E |
|
|
q |
. |
|
Мы получили линейное относительно q уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
R |
|
cR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
процесса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dq |
|
q |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
cR |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Интегрируем это уравнение, полагая q |
uv, q |
u v uv |
и подстав- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ляя |
q |
и |
|
|
q |
|
в |
|
|
уравнение |
(7). |
|
|
|
|
|
Имеем |
u v |
uv |
|
|
uv |
|
|
|
|
E |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cR |
|
|
|
|
R |
|||||
v u |
|
u |
|
|
uv |
|
|
|
|
E |
|
, u |
|
|
|
|
|
u |
|
0 |
. Тогда |
|
du |
|
u |
, |
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
dt |
, ln u |
|
|
t |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
cR |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
cR |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
cR |
|
|
|
|
|
|
|
|
cR |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
u |
|
|
e |
|
cR . Затем получаем e cR v |
|
|
|
|
и |
v |
|
|
e |
cR |
. Разделим пере- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
||||||||||||||||
менные v |
|
|
и |
|
t: |
|
dv |
|
|
e cR dt . |
Тогда |
v |
|
|
|
|
ecR dt |
|
cR |
|
ecR d |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
cR |
|||||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cEe cR |
C |
, |
|
где |
|
C |
1 |
–произвольная |
|
постоянная. |
|
|
Далее |
|
находим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
q uv, q |
|
e |
|
cR |
|
|
cEe cR |
|
|
C |
, q |
cE |
|
C e cR . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В момент t |
0 |
|
согласно условию задачи q |
0 , |
так как заряд кон- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
денсатора отсутствовал. Тогда при |
|
t |
0 |
|
|
|
и |
q |
0 имеем |
0 |
|
cE |
|
|
C1 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C1 |
cE . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, закон рассматриваемого процесса описывается ра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
венством: |
|
q |
|
cE 1 |
|
e cR . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63
§2. Дифференциальные уравнения второго порядка
1. Основные понятия
Дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде F x, y, y , y 0 . Мы будем рассматривать уравнения второго по-
рядка, которые можно разрешить относительно производной второго порядка, то есть записать в виде
y |
f x, y, y . |
|
|
|
Для этих уравнений имеет место теорема существования и единст- |
||||
венности решения. |
|
|
|
|
Теорема. Если в уравнении |
y f x, y, y |
функция f x, y, y |
и ее |
|
частные производные по аргументам y и y |
непрерывны в некоторой |
|||
области, |
содержащей x0, y0, y0 |
, то существует и притом единствен- |
||
ное решение y y x уравнения, удовлетворяющее условиям y x0 |
y0 |
|||
и y x0 |
y0 . |
|
|
|
Эти условия называются начальными условиями. Геометрический смысл этих условий состоит в том, что через заданную точку плоскости
x0 , y0 с заданным тангенсом угла наклона касательной y0 проходит единственная интегральная кривая. Ясно, что если мы будем задавать различные значения y0, то при постоянных x0 и y0 мы получим бес-
численное множество интегральных кривых с различными углами наклона касательных и проходящих через заданную точку.
Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция y x,C1,C2 , зависящая от двух произвольных
постоянных, которая при любых значениях C1 и C2 является решением дифференциального уравнения.
Уравнение Ф x, y,C1,C2 0 , определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Если в общее решение подставить конкретные значения С1 и С2 ,
то получится частное решение дифференциального уравнения. График частного решения называют интегральной кривой данного дифференциального уравнения.
Рассмотрим методы решения некоторых уравнений второго поряд-
ка.
64
2. Уравнения, допускающие понижение порядка
а) Рассмотрим простейшее уравнение второго порядка y f x .
Общее решение такого уравнения получается путем двукратного интегрирования:
y |
f x dx C1, |
|
|
|
|
|
y |
dx f x dx C1x C2 , |
|
|
|
|
|
где |
C1 и C2 –произвольные постоянные, а неопределенные инте- |
|||||
гралы трактуются как первообразные соответствующих функций. |
||||||
Пример 7. Решить уравнение y |
x |
sin x . |
|
|
||
|
|
|
|
x2 |
||
Решение. Интегрируя первый |
раз, |
получаем y |
|
cos x C1 . |
||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
Общее решение данного уравнения получаем, интегрируя второй раз:
y |
x3 |
|
sin x |
|
C1x |
C2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
б) |
Рассмотрим уравнение y |
f x, y |
, |
явно не содержащее иско- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мую функцию y. Положим y |
p . |
Тогда |
y |
|
|
|
p |
и уравнение примет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вид |
p |
|
f x, p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Решаем теперь это уравнение первого порядка относительно p, а |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
затем заменяем p на |
y |
и решаем последнее уравнение относительно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неизвестной функции y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Пример 8. Решить уравнение xy |
|
y |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Решение. |
Положим |
y |
p, y |
p |
|
и подставим |
|
y |
и y |
|
в данное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение. |
Получим |
xp |
p |
0, x |
dp |
|
|
|
|
p . |
Разделим переменные. То- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
гда |
dp |
|
|
|
dx |
. Интегрируя, получим ln |
|
p |
|
|
ln |
|
x |
|
|
ln |
|
C1 |
|
, |
ln |
|
p |
|
ln |
|
C1 |
|
и |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
p |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
p |
C1 |
|
. Заменим |
теперь p |
на |
y . |
|
|
Имеем |
dy |
|
|
C1 |
, dy |
|
C |
dx |
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
C1 ln |
x |
|
C2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в) |
Пусть |
|
y |
f |
y, y |
. Это уравнение явно не содержит перемен- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ную x. Подстановкой |
y |
p y , y |
p |
|
|
dp |
|
|
dp |
dy |
|
|
p |
p это уравне- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
dy |
dx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ние приводят к уравнению первого порядка: |
p p |
|
f |
|
y, p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
65
Далее получившееся уравнение первого порядка решают относительно вспомогательной функции p, а затем, заменяя p на y, получают
уравнение первого порядка относительно функции y, из которого ее и находят.
Пример 9. Решить уравнение y tgy |
2 y 2 . |
Решение. Положим y p, y p |
p , подставим в уравнение эти |
выражения производных и получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции p:
|
|
p |
p tgy |
2 p2 . |
Отсюда |
p |
p |
tgy |
|
2 p2 |
|
0, p p tgy |
2 p |
0 . |
Это |
||||||||||||||||
уравнение имеет решение p |
0 или |
y |
|
0 , а |
y C , а так же решения, |
||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяющие уравнению |
p tgy |
2 p |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Разделим переменные в этом уравнении: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
dp |
|
|
dp |
|
dy |
|
dp |
|
|
cos y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
tgy |
2 p, |
2 |
, |
2 |
dy, ln |
p |
2ln |
sin y |
|
ln |
C |
. От- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
dy |
|
|
|
p |
|
tgy |
p |
|
|
|
sin y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
куда |
|
p |
C sin2 y . Полагая p |
y , получим дифференциальное уравне- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние y |
C sin2 |
y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Снова разделим переменные: |
|
dy |
C sin2 |
y, |
|
dy |
C dx . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
1 |
|
|
sin2 y |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Интегрируя, |
получим: |
|
|
|
dy |
|
C1 |
dx, – ctgy |
C1x |
C2 |
или |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin2 y |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ctgy |
|
C1x |
C2 |
. Решение уравнения p=0, то есть y=C, входит в этот об- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
щий интеграл при |
x |
0 , так как в таком случае ctgy |
C2 |
и y является |
|||||||||||||||||||||||||||
постоянным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Таким образом, получили общий интеграл дифференциального |
||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения ctgy |
C1x |
C2 , где C1 |
и C2 –произвольные постоянные. |
|
3. Линейные однородные уравнения второго порядка. Общие свойства решений
Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно имеет вид:
y p x y qy |
f x , |
(8) |
то есть является линейным относительно неизвестной функции y и |
||
ее производных y и y . Коэффициенты |
p x и q x |
и правая часть |
f x этого уравнения непрерывны. |
|
|
66
Если правая часть уравнения f x 0 , то уравнение называют ли-
нейным неоднородным. Если же f |
x |
0 , то уравнение имеет вид |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
p x y |
|
qy |
0 |
|
|
|
|
(9) |
||
и называется линейным однородным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пусть y1 |
|
y1 x |
и |
y2 |
y2 x –какие–либо частные решения урав- |
||||||||||||||
нения (9), то есть не содержат произвольных постоянных. |
|
|
|
||||||||||||||||
Теорема 1. Если |
y1 |
и |
y2 –два частных решения линейного одно- |
||||||||||||||||
родного уравнения второго порядка, то |
y1 |
y2 |
так же является решени- |
||||||||||||||||
ем этого уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как |
y1 |
и |
y2 –решения уравнения (9), |
то они обращают это |
|||||||||||||||
уравнение в тождество, то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y1 |
p x y1 |
|
q x y1 |
0 и y2 |
p x y2 |
|
q x y2 |
0 |
|
(10) |
||||||||
Подставим y1 |
y2 |
в уравнение (9). Тогда имеем: |
|
|
|
|
|||||||||||||
y1 |
y2 |
|
p x y1 |
|
y2 |
|
q x y1 |
y2 |
|
y1 |
p x y1 |
q x y1 |
|
||||||
y2 |
p x y2 |
q x y2 |
0 |
0 |
0 |
в |
силу |
(10). |
Значит, |
y1 |
y2 – |
||||||||
решение уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема 2. |
Если |
y1 –решение линейного однородного уравнения |
|||||||||||||||||
второго порядка, а C–постоянная, то Cy1 |
также является решением это- |
||||||||||||||||||
го уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Подставим Cy1 |
в |
уравнение (9). Получим: |
|||||||||||||||||
Cy1 |
p x Cy1 |
q x Cy1 |
C |
y1 |
|
p x y1 |
q x y1 |
С 0 0, |
то |
есть |
|||||||||
Cy1 –решение уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следствие. |
Если |
y1 |
и |
y2 –решения уравнения (9), то C1 y1 |
C2 y2 |
||||||||||||||
так же является его решением в силу теорем (1) и (2). |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Определение. Два решения |
y1 |
и |
y2 |
уравнения (9) называются ли- |
нейно зависимыми (на отрезке a,b ), если можно подобрать такие чис-
ла |
1 и |
2 , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация |
|||
этих |
решений тождественно равна нулю на a,b , |
то |
есть |
если |
|
α1y1 |
α2 y2 |
0 . |
|
|
|
|
Если же таких чисел подобрать нельзя, то решения |
y1 |
и y2 |
назы- |
|
ваются линейно независимыми (на отрезке a,b ). |
|
|
|
67
Очевидно, решения y1 и y2 будут линейно зависимы тогда и толь-
ко тогда, когда их отношение постоянно, |
то есть |
|
y1 |
|
|
(или наоборот |
||||||||||||||||||||||||
|
y2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
В самом деле, если |
y1 и y2 –линейно зависимы, то |
1 y1 |
|
2 y2 |
0 , |
|||||||||||||||||||||||
где по меньшей мере одна постоянная |
|
1 |
или |
2 |
|
отлична от нуля. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть, |
например, |
|
|
0 |
. Тогда y |
|
2 |
y |
2 |
|
0 , |
y |
|
|
|
2 |
y |
2 |
, |
y1 |
|
|
2 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||||||
Обозначая |
2 |
|
, |
|
|
получим |
y1 |
|
|
, то |
есть отношение |
|
y1 |
– |
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
y2 |
|
|
y2 |
|||||||||||||||||||||||
постоянно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Обратно, если |
|
y1 |
|
|
, то y1 |
αy2, y1 |
|
αy2 |
|
0 . Здесь коэффициент |
||||||||||||||||||
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при y1 |
1 , то есть отличен от нуля, что по определению означает, что |
y1 и y2 являются линейно зависимыми.
Замечание. Из определения линейно независимых решений и рассуждений выше можно сделать вывод, что если y1 и y2 –линейно независимы, то их отношение не может быть постоянным.
Например, функции |
ek1x и ek2 x |
при k |
k |
2 |
–линейно независимы, |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
так как |
ek1x |
|
e k1 k2 x |
, так как |
k k |
|
|
0 . А вот функции 5x и x– |
||
|
2 |
|
||||||||
|
ek2 x |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
линейно зависимы, так как их отношение |
5x |
|
5 . |
|
||||||
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема. |
Если y1 и |
y2 –линейно независимые частные решения |
линейного однородного уравнения второго порядка, то их линейная комбинация C1 y1 C2 y2 , где C1 и C2 –произвольные постоянные, явля-
ется общим решением этого уравнения.
Доказательство. В силу теорем 1 и 2 (и следствия к ним) C1 y1 C2 y2 является решением уравнения (9) при любом выборе посто-
янных C1 и C2 .
Если решения y1 и y2 –линейно независимы, то C1 y1 C2 y2 –общее
решение, так как это решение содержит две произвольные постоянные, которые не могут быть сведены к одной.
68
В тоже время, если бы |
y1 и |
y2 были линейно зависимыми реше- |
|||||||
ниями, то C1 y1 |
C2 y2 уже не являлось бы общим решением. В этом |
||||||||
случае |
y1 |
|
, |
где |
|
α–константа. |
Тогда |
y1 |
y2 , |
y2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C1 y1 C2 y2 C1 |
y2 |
C2 y2 |
C1 |
C2 y2 Cy2 , где C C1 |
C2 |
явля- |
ется постоянной. Cy2 не может быть общим решением дифференци-
ального уравнения второго порядка, так как зависит лишь от одной постоянной.
Итак, общее решение уравнения (9):
|
y C1 y1 C2 y2 |
(11) |
где |
y1 и y2 –линейно независимые частные решения этого уравне- |
|
ния, а C1 |
и C2 –произвольные постоянные. |
|
4.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Пусть линейное |
однородное |
дифференциальное |
уравнение |
|||||||
y py |
qy |
0 (9) имеет постоянные коэффициенты p и q. Будем ис- |
||||||||
кать частные решения этого уравнения в виде |
|
|
||||||||
|
|
|
|
y |
ekx , где k |
const. |
|
(12) |
||
Найдем y |
и y |
из формулы (12): y |
kekx, y |
k 2ekx. |
|
|||||
Подставим |
y, y , y |
в |
|
уравнение |
(9). |
Получим: |
||||
k 2ekx |
pkekx |
qekx |
0, |
ekx k 2 |
px |
q |
0. Но ekx |
0 . Поэтому |
||
|
|
|
|
|
k 2 |
pk |
q |
0 |
|
(13) |
Квадратное уравнение (13), из которого определяется число k, называется характеристическим уравнением данного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Заметим, что для составления характеристического уравнения достаточно в дифференциальном уравнении производные y и y заме-
нить на k и k 2 , а функцию y рассматривать как производную нулевого
порядка и y заменить на k 0 , то есть на единицу.
Например, характеристическое уравнение дифференциального уравнения y 9y 6y 0 имеет вид k 2 9k 6 0 .
69
Решим характеристическое уравнение. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k1,2 |
p |
p2 |
q |
|
(14) |
||||
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При этих значениях k функции ekx будут решениями уравнения (9). |
|||||||||||
Возможны три различных случая. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Случай I. Если |
|
q 0 , то корни характеристического уравне- |
|||||||||
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ния действительны и различны, то есть |
k1 |
k2 . Тогда частными реше- |
|||||||||
ниями уравнения (9) будут функции y |
ek1 x |
и y |
2 |
ek2 x . Эти функции |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
линейно независимы и, следовательно, общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами будет:
y C ek1x |
C |
ek2 x |
(15) |
1 |
2 |
|
|
Пример 10. Найти общее решение уравнения y |
5y 6y 0 . |
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни.
k 2 5k 6 0, k |
5 |
|
25 |
|
|
6 |
|
5 |
|
|
1 |
|
. |
k |
5 1 |
3, k |
|
5 1 |
2. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
1,2 |
2 |
|
4 |
|
|
2 |
4 |
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Тогда общее решение дифференциального уравнения составляем |
|||||||||||||||||||||
по формуле (15): y |
C e2 x |
C |
2 |
e3x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
||
Случай II. Если |
|
q 0 |
, то в силу формулы (14) характеристи- |
||||||
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ческое уравнение (13) имеет равные корни |
k |
k |
|
p |
. Такие корни |
||||
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
называются кратными. В этом случае одно частное решение дифферен-
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
||
|
|
ekx |
|
|
x . Другое частное решение, |
|||||||
циального уравнения будет |
y |
e |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
линейно независимое с y1 , |
следует выбрать так, чтобы |
|
y2 |
const. То- |
||||||||
|
y1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
гда |
y2 |
z x |
, что и означает, |
что y2 |
и |
y1 –линейно независимы. Най- |
||||||
y1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дем y2 |
z x |
y1 , определив функцию z x , подставляя |
y2 в дифферен- |
70
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
циальное |
|
|
|
|
|
|
|
уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
z x e |
2 . |
|
|
|
|
|
Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z e |
|
x |
|
ze |
|
x |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
x |
|
|
|
|
|
z , y |
|
|
|
|
e |
|
x |
|
|
|
|
z |
|
|||||||||||||||||||||||
y |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
z |
2 |
|
|
|
2 |
z |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
||||||||
|
e |
|
|
x z |
|
z |
|
|
|
|
e |
|
|
x z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
pz |
|
|
|
|
z |
|
e |
2 |
pz |
z . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Подставляя y2, y2 |
|
|
и |
|
y2 |
в уравнение |
|
y |
|
|
py |
qy |
0 , |
получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
z |
|
|
qe |
|
|
x z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
e |
|
2 |
z |
pz |
z |
|
|
|
|
|
pe |
2 |
|
|
z |
|
|
2 |
0 . |
|
Вынося за скобки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
общий множитель |
|
e 2 |
и сокращая на него, |
что возможно, |
так как |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e |
|
2 |
0 , |
|
получим |
|
|
далее |
|
|
z |
|
pz |
z |
|
|
|
pz |
|
|
qz |
0 |
или |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
qz |
0 и |
z |
|
|
q |
|
|
|
|
z |
0 . |
Но |
|
|
|
|
|
q |
0 , |
поэтому имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
0 , откуда |
z |
a и z |
|
ax |
b , где a и b–постоянные. Но так как мы |
ищем какое–либо частное решение дифференциального уравнения, то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x или |
|
|
xekx . |
|||||
можно взять a 1 и b 0 . Тогда |
z |
x , a |
y |
2 |
xe |
2 |
y |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, мы имеем два линейно независимых частных ре- |
||||||||||||||||
шения линейного уравнения: |
y |
ekx |
и y |
2 |
|
xekx . Тогда общее решение |
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этого уравнения будет иметь вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y |
C ekx |
C |
2 |
xekx |
или y |
ekx |
C |
xC |
2 |
|
|
(16) |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
Пример 11. Решить дифференциальное уравнение |
|
|
|
|||||||||||||
y 6y 9y |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Составим характеристическое уравнение этого диффе- |
||||||||||||||||
ренциального уравнения: |
k 2 |
6k |
9 |
0 . Тогда k |
3 2 |
0 и k 3 . Об- |
щее решение данного дифференциального уравнения составляем по
формуле (16): y |
e3x C |
|
xC |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Случай III. Если |
p |
2 |
q |
|
0 , то на основании формулы (14) харак- |
||||
|
|
|
|||||||
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
теристическое |
уравнение |
|
(13) |
имеет |
комплексные |
корни: |
71
|
p |
|
p2 |
|
p |
|
p2 |
|
где |
p |
, |
|
k |
|
|
|
q |
|
q |
|
1 |
i, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
1,2 |
2 |
4 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
. Таким образом, k |
|
i, |
k |
|
|
|
|
i. Тогда |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
β |
|
q |
|
, i |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частные решения линейного однородного уравнения |
|
|
y |
py |
|
qy |
0 |
||||||||||||||||||||||
будут иметь вид: |
|
y |
ek1 x |
e α βi x , |
y |
2 |
|
ek2 x |
e α |
βi x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Тогда общее решение уравнения формально можно записать так: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
βi x |
|
|
e α |
βi x |
|
eαx e βix |
|
|
|
eαx e |
βix |
eαx |
|
e βix |
|
|
|
|
ix |
|
|||||
y |
|
C |
e α |
C |
2 |
C |
C |
2 |
C |
C |
2 |
e |
, |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
где C1 и C2 –некоторые комплексные постоянные, подобранные таким
образом, чтобы общее решение было действительным. Избавимся в последнем выражении от мнимых величин, воспользовавшись формулами Эйлера:
e βix |
cos βx |
i sin βx, |
e βix |
cos βx |
i sin βx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
y |
e |
|
x C cos |
x |
i sin x |
C |
cos x |
i sin x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
eαx |
C |
|
C |
2 |
cos βx |
i C |
C |
2 |
sin βx |
eαx |
C cos βx |
C |
2 |
sin |
x , |
где C |
||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
и C2 –какие угодно (ввиду произвольности постоянных C1 |
и |
C2 ) дей- |
ствительные постоянные. Таким образом, если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то общее решение линейного однородного уравнения находится по формуле:
|
|
y |
e x C cos x |
C |
2 |
sin |
x |
(17) |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 12. Составить общее решение дифференциального уравне- |
|||||||||||
ния y |
4 y 13y |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его |
|||||||||||
корни. |
Имеем k 2 |
4k 13 |
0 . Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
2 |
4 13 2 |
9 |
|
||||||
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
2 3i . Тогда согласно формуле (17) получаем общее решение данно-
го дифференциального уравнения |
y e |
2 x C cos 3x |
C |
2 |
sin 3x . |
|
|
1 |
|
|
В заключение этого пункта составим таблицу, использование которой облегчает студенту отыскание общего решения уравнения
y py qy 0 .
72