3. Теорема об изменении кинетической энергии точки
|
Работа силы |
|
Fn |
|
М1 |
||
Физический |
Характеризует действие, |
F |
|||||
|
τ |
||||||
оказываемое силой на тело |
|
||||||
смысл работы |
|
α |
V |
||||
при некотором его |
|
|
|||||
силы |
М0 |
М |
Fτ |
||||
|
перемещении. |
ds |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
Элементарная работа силы, приложенной в точке М, |
|
||||||
|
скалярная величина dA = Fτ ds |
|
|
(1) |
|||
dA = F dr (3) dA = F ds cosα (2) |
если α острый, то dA >0; |
||||||
если α тупой, то dA < |
|||||||
Аналитическое выражение |
|||||||
если α = 900, то dA = 0. |
|||||||
элементарной работы |
|
|
|
|
|||
dA =Fx dx + Fу dу+ Fz dz. |
(4) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Работа силы на конечном перемещении
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
На перемещении Mо M1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( M 1 ) |
|
( M 1 ) |
|
|
|
|
А( М0М1 ) F ds, или |
А( М0М1 ) |
( Fхdх Fуdу Fzdz ). |
|
|
|
|
( Mo ) |
|
( Mo ) |
М |
М |
|
|
|
|
|
|
||
|
Вывод. Работа силы на любом перемещении М0 |
М1 |
равна |
|||
взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Работа |
|
Если F const |
|
|
Если Fτ = const |
и |
|||||||
постоянной |
|
|
обозначить М0 М1 |
=s1 |
|||||||||
|
А(М0М1 ) F s1 cos . |
|
|||||||||||
силы |
|
|
|
А( М0М1 ) F s1 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Единицы измерения работы |
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
||||
|
F |
n |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
СИ — 1 джоуль (1 Дж = 1Н·м = 1 кг·м2/с2), |
М0 |
М |
α |
Fτ |
М1 |
МКГСС — 1 кГ·м. |
|
|
|
s1 |
|
Мощность
Физический смысл Мощностью называется величина, определяющая работу,
совершенную силой за единиц времени.
Вычисление мощности
Вобщем случае
N = dA / dt =
Fτ ds / dt = Fτ V.
Мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость
При равномерной работе N = A / t1.
Единицы |
|
– в СИ - ватт (1 Вт =1Дж/с). |
|
измерения |
|
– в МКГСС - |
1 кГ·м/с. |
мощности |
|
– в технике 1 |
л. с.=736 Вт . |
Примеры вычисления работы силы
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Работа силы тяжести |
|
|
|
|
|
|
М0 |
|
М |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Точка М перемещается из |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|||||||||
положения М0(х0,у0,z0) в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
положение М1(х1,у1,z1). |
|
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
М1 |
|||||
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При оси оси |
Oz направленной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х0 |
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
вертикально вверх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х1 |
|||
|
|
у0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
Рх= 0, Pу= 0, Pz= - Р. |
х |
|
|
|
|
у1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из формулы |
(M 1) |
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|||
А(М0 М1 ) (Fхdх Fуdу Fzdz) |
( |
Рdz) P(z0 z1 ). |
|||||||||||||||
|
(Mo) |
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|||
Или учитывая, что z0 – z1 = ± h, запишем |
|
А(М0 М1 ) P h. |
|||||||||||||||
Вывод. Работа силы тяжести не зависит от вида той траектории, по которой перемещается точка ее приложения. Силы, обладающие таким свойством, называются
потенциальными.
2. Работа силы упругости
Груз М прикреплен к свободному концу пружины.
А0 = l0 — длина ненапряженной пружины.
l |
|
|
|
l0 |
x |
|
М |
А |
F |
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
О х |
М0 |
х1 |
М1 |
|
0 |
|
|
Примем точку О за начало координат.
При растяжении пружины на величину l, она получит удлинение λ = l - l0 и на груз будет действовать сила упругости,
|
направленная к точке О. |
|
|
|
||||
|
Так как λ = х, то Fх = - сх, а Fу = Fz = 0. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
( х1 ) |
|
|
|
|
А упр. при перемещении М0(х0)М1(х1) - |
А( М0 |
М1 ) ( схdх ) с |
( х02 х12 |
). |
|||
|
|
|
|
|
( хo ) |
2 |
х1= λ1 |
|
|
Учитывая, что х0=λ0 – начальное удлинение пружины, а |
|
||||||
|
– ее конечное удлинение, получим |
А( М0М1 ) |
|
с |
( 02 12 |
). |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Вывод Работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины.
Работа силы упругости не зависит от вида той траектории, по которой перемещается точка ее приложения.
Сила упругости является потенциальной силой.
3. Работа силы трения |
|
|
N |
|
|
Точка движется по шероховатой |
|
|
|
|
|
поверхности или кривой. |
|
Fтр |
|
ds |
τ |
Сила трения по модулю равна |
f N, |
М |
V |
||
М0 |
М1 |
|
|||
где f — коэффициент трения, |
|
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
N — нормальная реакция поверхности. |
|
|
|
|
|
Сила трения направлена противоположно |
|
|
|
|
|
перемещению точки, т. е. Fтрτ= - Fтр= -f N. |
|
|
|
|
|
|
Тогда А( М0М1 ) |
( M 1 ) |
( М1 ) |
|
|
|
|
Fтрds |
f N ds. |
|
|
|
|
( |
Mo ) |
( М0 ) |
|
|
|
|
|||
Если Fтр = const, то |
А( М0М1 ) Fтр s |
, где s М0М1. |
|||
Вывод Работа силы трения при скольжении всегда отрицательна.
Так как эта работа зависит от длины дуги М0, М1 то, сила трения является силой непотенциальной.
Теорема об изменении кинетической энергии точки
Опр. Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина mV2/2, равная половине произведения массы точки на квадрат ее
скорости.
Единица измерения кинетической энергии - в СИ — 1 Дж.
Теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме
Пусть точка с массой m перемещается из положения Мо, где она имеет скорость V0, в положение M1, где ее скорость V1 .
Основной закон динамики ma Fk |
в проекции на |
касательную имеет вид m aτ = Fk . |
(4) |
Из кинематики известно, что aτ = dV/dt.
Или aτ =(dV/dt) (ds/ds)= V dV / ds.
Тогда выражение (4) примет вид: m V dV = Fk ds.
С учетом того, что m V dV = d(m V2/2), а Fk ds = d Ak
вместо выражения (4) получим
d( |
mV 2 |
) |
dA . |
(*) |
|
||||
2 |
|
k |
|
|
|
|
|
||
Вывод. Равенство (*) выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме.
Теорема об изменении кинетической энергии в конечном виде
|
|
|
|
|
|
mV 2 |
|
||
Интегрируя равенство (*) - |
d ( |
|
) dAk |
в пределах, |
|||||
2 |
|||||||||
соответствующих значениям переменных в точках М0 и М1, |
|||||||||
|
|
|
найдем: |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mV 2 |
|
mV 2 |
A(M 0M1 ) . |
|
(1) |
||
|
|
1 |
|
0 |
|
||||
|
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема. Изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.
(случай движения без трения)
При несвободном движении точки в правую часть (1) войдет работа активныхA ( M0M1 )и работа реакции связи.
Работа реакций связей без учета трения равна нулю,так как N
перпендикулярна к направлению перемещения точки, поэтому:
mV212 mV202 Aа (M 0M1 ) ,
Теорема. При перемещении по неподвижной гладкой поверхности (или кривой) изменение кинетической энергии точки равно сумме работ на этом перемещении приложенных к точке активных сил.