ДИНАМИКА механической системы и твердого тела.

Общие теоремы динамики системы.

Общие теоремы динамики системы

1. Теорема о движении центра масс системы

2. Теорема об изменении количества движении системы

3. Теорема об изменении кинетического момента системы

4. Теорема об изменении кинетической энергии системы

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ.

Рассмотрим систему состоящую из n материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой m k.

Аналогичный результат получим для любой точки. Тогда для всей системы будет

Если уравнения (1) спроектировать на оси Охуz, то получим 3n дифференциальных уравнений движения системы.

В решения уравнений входить 6n постоянных интегрирования, для нахождения которых необходимы 6n начальных условий.

Входящие в уравнения силы могут зависеть от координат точек системы, положения точек и их скоростей.

Аналитическое решение задачи интегрирования 3n дифференциальных уравнений второго порядка в большинстве случаев получить не удается, поэтому их решают численно на ЭВМ.

В ряде случаев задачу можно решить (полностью или частично) с помощью общих теорем динамики системы.

ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

Сложим почленно уравнения (1)

Беря от обеих частей последнего равенства вторую производную по времени, найдем

Учтя это свойство и подставляя равенство (3) в (2), получим

Уравнение (4) выражает теорему о движении цента масс системы.

Теорема. Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Другая формулировка.

Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Проектируя обе части равенства (4) на оси Охуz, получим

МхС Fkхe , МуС Fkуe , MzС Fkze. (5)

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения центра масс системы в проекциях на оси декартовой системы координат.

Значение теоремы в следующем:

1.Обосновывает методы динамики точки.

2.Позволяет при определении закона движения центра масс исключить из рассмотрения все внутренние силы.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС

Следствия из теоремы.

1.Пусть сумма действующих внешних сил равна нулю:

Fke 0.

Вывод. Если сумма всех внешних сил равна нулю, то центр масс системы движется с постоянной по модулю и направлению скоростью, т. е. равномерно и прямолинейно.

2. Пусть сумма проекций внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю: Fkхe 0.

Вывод. Если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую - нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная.

В частности, если при t =0 VCх0 = 0, то хС = const.

Вывод (общий). Следствия 1,2 выражают закон сохранения движения центра масс системы.