Пример решения задачи Д7 (Д4)

Задача. Через центр тяжести А тележки массой m1, движущейся по

гладкой горизонтальной плоскости, прорезан наклоненный под углом

α = 450 к горизонту желоб, в который помещен груз D массой m2

(рисунок 1).

В момент времени t0 = 0, когда скорость тележки равна u0, груз

начинает движение по желобу по закону АD = s = f (t). Считать груз материальной точкой и пренебречь всеми сопротивлениями.

Да н о: m1 = 24 кг, m2 = 12 кг, u0 = 0,5 м/с, s = 0,5 cos (πt/6) (s

–в метрах, t – в секундах).

О п р е д е л и т ь в момент времени t1 = 1 с:

а) перемещение х1 тележки (перемещение за время от t0 = 0

до t1 = 1 с);

б) ускорение а1 тележки; в) скорость u1 тележки;

Решение.

1. Выберем механическую систему, движение которой будем рассматривать. .

Рассматривать систему, состоящую из тележки и груза.

2. Изобразим действующие на систему внешние силы (рисунок 2):

силы тяжести Р1, Р2 и реакции плоскости N / , N // .

3. Выберем оси Оху так, чтобы ось у проходила через точку А0, где

находится центр масс тележки в момент времени t0 = 0.

а) Определим перемещения х1.

Воспользуемся теоремой о движении центра масс системы. Составим дифференциальное уравнение движении центра масс системы в проекции на ось х. Получим

Определим значение М хС.

Из рисунака 2 видно, что в произвольный момент времени абсциссы хА – центра масс тележки

и хD – груза равны соответственно

хА = х,

хD = х – АD cos(450) = х – s cos(450).

Так как по формуле, определяющей координату хС центра масс системы,

Подставив во второе из уравнений (3) значение М хС из

равенства (2), предварительно упростив его, получим

Для определения С1 и С2 необходимо еще одно уравнение,

которое получим, продифференцировав обе части равенства

(4) по времени,

По начальным условиям: при t = 0 х = 0, х = u0. Подставляя

эти величины в равенства (4) и (5), найдем, что

При этих значениях С1 и С2 уравнение (4) примет вид

(m1 + m2) х – 0,35 m2 cos (π t / 6) = (m1 + m2) u0 t – 0,35 m2.

Отсюда получим зависимость от времени координаты х

Полагая здесь t = 1 с, найдем искомое перемещение х1.

О т в е т: х1 = 0,48 м.

б) Определим ускорения а1.

Проделав те же рассуждения и выкладки, что и в предыдущем примере, получим уравнение (1) и формулу (2).

МхС = (m1 + m2) х + 0,35 π / 6 m2 sin(π t / 6);

МхС = (m1 + m2) х + 0,35 (π / 6)2 m2 cos (π t / 6),

где х = а – ускорение тележки

Но согласно уравнению (1) М хС = 0; в результате находим

следующую зависимость а от времени

а = – 0,03 cos (π t / 6).

Полагая здесь t = 1 с, определим искомое ускорение а1.

О т в е т: а1 = – 0,026 м/с2. Знак минус указывает, что ускорение тележки направлено влево.

в) Определим скорости u1.

Чтобы определить u1, воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы в проекции на ось х.

Так как все действующие на систему внешние силы вертикальны (рисунок 3), то

Fkxe 0 , и теорема дает

вдоль желоба и численно

V ОТD = s = – (0,5 π / 6) sin(π t / 6) = 0,26 sin(π t / 6).