ДИНАМИКА механической системы и твердого тела.
Принципы механики. Принцип Даламбера.
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.
Пусть на материальную точку с массой m действует система
активных сил, равнодействующую которых обозначим F а , N.
Под действием сил точка будет двигаться с ускорением а.
Опр. Векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленная противоположно этому ускорению, называется силой инерции точки, то есть
F |
и |
|
(1) |
|
- m a . |
Принцип Даламбера. Если в любой момент времени к действующим на точку активным силам и реакциям связей
присоединить силу инерции, то полученная система сил будет |
||||
a |
|
и |
0. |
(2) |
уравновешенной, то есть F |
N |
F |
||
Принцип Даламбера эквивалентен второму закону Ньютона.
|
a |
|
Перенося во втором законе Ньютона для точки ma |
F |
N |
величину ma |
|
|
в правую часть равенства и учитывая обозначение (1), получим выражение (2).
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ СИСТЕМЫ.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n точек.
Выделим какую-нибудь из точек системы с массой mk.
Под действиемe i |
приложенных к ней внешних и внутренних сил |
||||
Fk и Fk |
точка будет двигаться с ускорением |
аk . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
Вводя для этой точки силу инерции Fk |
- mk ak , из (2) получим |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Fke Fki Fkи 0, |
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
т. е. Fke ,Fki и |
Fkи |
образуют уравновешенную систему сил. |
|
Повторяя эти рассуждения для каждой из точек системы, придем к принципу Даламбера для системы.
Если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения равновесия статики.
По принципу Даламбера должно быть
(Fke Fki Fkи ) 0, |
|
(4) |
|
|
|
||
(m0(Fke ) m0(Fki ) m0(Fkи )) 0. |
|
||
|
Введем обозначения |
R |
и |
и |
и |
и |
(5) |
|
|
|
|||||||
|
|
F k , |
М0 |
m0(Fk ). |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величины Rи , М0и |
представляют собой главный вектор и |
|
|
||||
|
главный момент относительно центра О системы сил |
|
|
|||||
|
инерции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая первое и второе свойства внутренних сил, а также обозначения (5) вместо выражений (4), получим
Fke Rи 0, |
m0(Fke ) М0и 0. |
(6) |
ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ИНЕРЦИИ.
Из первого уравнения равенств (6) получим Rи Fke.
Сравнивая это выражение с уравнением, выражающим |
|
|||
теорему о движении центра масс системы |
maC Fke , найдем: |
|
||
|
|
|
|
|
|
Rи maC . |
|
(7) |
|
Вывод. Главный вектор сил инерции механической системы (в частности, твердого тела) равен произведению массы системы (тела) на ускорение центра масс и направлен противоположно этому ускорению.
Если ускорение аС разложить на касательное и нормальное, то вектор Rи разложится на составляющие
Rτи maCτ , Rnи maCn. |
(8) |
Нормальную составляющую силы инерции называют еще центробежной силой инерции.
Из второго уравнения равенств (6) получим
М0и m0(Fke ).
Сравнивая это выражение с уравнением, выражающим теорему об изменении кинетического момента системы
dK0 
dt m0(Fke ),
найдем |
|
и |
|
dK |
0 |
и |
|
dK |
Z |
|
(9) |
М |
0 |
|
|
и М Z |
|
|
. |
||||
dt |
|
dt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вывод. Главный момент сил инерции механической системы (твердого тела) относительно некоторого центра или оси z равен взятой со знаком минус производной по времени от кинетического момента системы (тела) относительно того же центра или оси.
ПРИВЕДЕНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Вывод. Систему сил инерции твердого тела можно заменить одной силой, равной Rи и приложенной в произвольно выбранном центре О, и парой сил с моментом, равным М0и .
1. Поступательное движение
Вывод. Силы инерции тела приводятся к равнодействующей, равной Rи и проходящей через центр масс тела, так как аk aC.
2. Вращательное движение.
Пусть тело имеет плоскость материальной симметрии Оху и вращается вокруг оси Оz, перпендикулярной этой плоскости.
Если привести силы инерции к центру О, то в |
ε |
МОZИ |
О |
|
|
следствии симметрии результирующая сила и |
|
RИ |
пара будут лежать в плоскости Оху и момент |
|
|
пары будет равен МОZИ . |
|
|
Так как КZ = JOZ ω, то по второй формуле (9) |
(10) |
МОZи JOZ ω JOZ ε, |
где ε – угловое ускорение тела.
Вывод. Система сил инерции такого вращающегося тела приводится к силе RИ , определяемой формулой (7) и прило- женной в точке О, и к паре сил с моментом МОZИ , определяемым
формулой (10), лежащей в плоскости симметрии тела.
3. Вращение вокруг оси, проходящей через центр масс.
Если тело вращается вокруг оси Оz, проходящей через центр масс С тела, то
аС
С
RИ 0, так как аС 0.
Вывод. В этом случае система сил инерции тела приводится к одной паре сил с моментом МОZИ , лежащим в плоскости
симметрии тела.
4. Плоскопараллельное движение.
Пусть тело имеет плоскость симметрии и движется параллельно этой плоскости.
Вывод. В этом случае система сил инерции тела приводится к лежащей в плоскости симметрии силе, равной
RИ , и приложенной в центре масс С тела, и паре с моментом
МСZи JСZ ε.