ДИНАМИКА механической системы и твердого тела.
Принципы механики. Принцип возможных перемещений.
КЛАССИФИКАЦИЯ СВЯЗЕЙ.
Опр. Связями называются любого вида ограничения, которые налагаются на положения и скорости точек механической системы и выполняются независимо от того, какие на систему действуют заданные силы.
1. Связи делятся на стационарные и нестационарные.
Опр. Связи, не изменяющиеся со времени, называются стационарными, а изменяющиеся со временем –
нестационарными.
2. Связи делятся на геометрические и кинематические (дифференциальными).
Опр. Связи, налагающие ограничения на положение (координаты) точек системы, называются геометрическими, а налагающие ограничения еще и на скорости (первые производные от координат по времени) точек системы –
кинематическими или дифференциальными.
3.Связи делятся на интегрируемые и неинтегрируемые.
Опр. Если дифференциальную связи можно представить как геометрическую, т. е. устанавливаемую этой связью зависимость между скоростями свести к зависимости между координатами, то такая связь называется
интегрируемой, а в противном случае – неинтегрируемой.
4. Связи делятся на голономные и неголономные.
Опр. Геометрические и интегрируемые дифференциальные связи называются связями голономными, а неинтегрируемые дифференциальные связи – неголономными.
По виду связей механические системы тоже разделяются на
голономные (с голономными связями) и неголономные
(содержащие неголономные связи).
5. Связи делятся на удерживающие и неудерживающие.
Опр. Удерживающими связями называются связи, которые накладывают ограничения, сохраняющиеся при любом положении системы, неудерживающимися – связи, которые этими свойствами не обладают (от таких связей система может «освобождаться»).
ВОЗМОЖНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СИСТЕМЫ. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ.
Действие связей можно учитывать не только вводя их реакции, но и рассматривая перемещения, которые точки механической системы могут иметь при наложенных на нее связях.
Эти перемещения называются возможными (или
виртуальными) перемещениями. Они удовлетворяют следующим требованиям:
1.Существуют только в нашем воображении.
2.Являются элементарными (бесконечно малыми).
3.Не нарушают наложенных на систему связей.
Возможное перемещение точки отличается от действительного прежде всего тем, что она его не совершает, а только может совершить .
Это отражается в обозначениях: обычно элементарное действительное перемещение обозначается как ds, dх, dу, dz и т. д., возможное перемещение точки обозначается δs, δх, δу, δz и т. д.
В математике символом «d» обозначается дифференциал функции, а символом «δ» обозначают вариацию функции. Однако формально они вычисляются одинаково.
При стационарных связях действительное
перемещение точки d r совпадает с одним из
возможных δ r. При нестационарных
связях таких совпадений нет.
Опр. Число независимых между собой возможных перемещений механической системы называется числом степеней свободы этой системы.
Вывод. У механической системы с геометрическими связями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы.
Поэтому у такой системы число степеней свободы можно определять как по числу независимых возможных перемещений, так и по числу независимых координат.
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.
Принцип возможных перемещений устанавливает общие условия равновесия.
Принцип формулируется в случае, когда все наложенные на систему связи стационарные.
Опр. Возможной работой называется элементарная работа, которую действующая на материальную точку сила могла бы совершить на перемещении, совпадающем с возможным перемещением этой точки.
Возможная работа активной силы |
F a обозначается символом |
||
δAa F δr, |
а возможная работа реакции |
N |
|
связи - символом |
δAr N δr. |
|
|
Опр. Идеальными называются связи, для которых элементарная работа их реакций на любом возможном
перемещении системы равна нулю, т. е.
δАkr 0.
Принцип возможных перемещений. Для равновесия
механической системы с идеальными связями необходимо и |
||
достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех |
|
|
действующих на нее активных сил при любом возможном |
|
|
перемещении системы была равна нулю, т.е. |
(1) |
|
|
δАkа 0. |
|
|
|
|
Это равенство может быть представлено в аналитической |
|
|
форме |
(Fkxa δxk Fkуa δуk Fkza δzk ) 0. |
(2) |
Пример Д7.
Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, находится под действием приложенных силы Q и двух пар сил с моментами М1 и М2 в равновесии;
положение равновесия определятся углами
α, β, γ и φ.
Длины стержней механизма равны l1 = 0,4 м, l2 = 0,6 м, размер l3 произвольный. Точка В находится на середине стержня 3.
Да н о: М1 =180 Нм, Q = 340 Н, α = 00,
β= 1200, γ = 00, φ = 300.
О п р е д е л и т ь: М2 .
Решение.
1. Изобразим механизм в положении, определяемом заданными углами α, β, γ, φ.