7.2 Определение усилий в стержнях фермы
Усилия в стержнях определяем методом сечений и вырезания узлов.
От постоянной нагрузки:
Рис. 19 Расчетная схема для расчета фермы от постоянной нагрузки
Сечение I-I
N
1-2=0;
∑M2=0; F2∙3-N12-13∙3=0;
N13-14=(F2∙3)/3=F2=298,98 кН;
∑Y=0; F2+N12-2∙cos450=0;
N13-2=-(F2/cos450)=-(298,98/0,707)=-422,89кН;
N1-2=0 (B1-1), N13-14=298,98 кН; (Н-2), N13-2=-422,89 кН (1-2).
Сечение II-II
∑
M13=0;
N2-3∙3+F2∙6-F1∙3=0;
кН;
∑Y=0; F2 – F1 – N2-13∙cos450=0;
кН;
N2-3=-543,6 кН (В2-3), N2-14=346,0 кН (2-3).
Вырежем узел 3
∑Y=0; – F1– N3-14=0;
N3-14=– F1;
N3-14=–54,36 кН (3-4).
Сечение III-III
∑
M4=0;
F2∙9-F1∙6-F1∙3-N14-15∙3=0;
9F2 - 9F1 - 3N13-14=0;
кН;
∑M13=0; F2∙6-F1∙3+N3-4∙3=0;
кН.
∑Y=0;
F2+N14-4∙cos450-2F1=0;
кН.
N14-15=733,86 кН (Н-5); N3-4=-543,6 кН (В3-4); N14-4=-269,91 кН (4-5).
Сечение IV-IV
∑M14=0;
N4-5∙3+F2∙12-F1∙9-
F1∙6-F1∙3=0;
=-869,76 кН;
∑Y=0; F2 -3F1-N4-15∙cos450 =0;
кН;
N4-5= -869,76 кН (В4-6), N4-14= 199,22 кН (5-6).
Вырежем узел 5
∑
Y=0;
– F1–
N5-15=0;
N5-15=–
F1;
N5-15=–54,36 кН (6-7).
Сечение V-V
∑M6=0; F2∙15-F1∙12-F1∙9-F1∙6-F1∙3-N15-16∙3=0;
кН;
∑M14=0; F2∙12-F1∙9-F1∙6-F1∙3+N5-6∙3=0;
кН;
∑Y=0; F2 +N14-6∙cos450-4F1=0;
кН;
N15-16= 951,30 кН (Н-8), N5-6= -869,76 кН (В5-7), N15-6= -115,33 кН (7-8).
Сечение
VI –
VI:
∑M7=0; F2∙18- F1∙15- F1∙12-F1∙9-F1∙6-F1∙3+N6-7∙3=0;
кН;
∑Y=0; F2 -5 F1 –N6-16∙cos450=0;
кН;
N6-7= -978,48 кН (Н-8), N16-6= 38,44 кН (В5-7).
В
ырежем
узел 5
∑
Y=0;
– F1–
N7-16=0;
N7-16=–
F1;
N7-16=–54,36 кН (6-7).
Обозначим полученные усилия в стержнях от постоянной нагрузки:
Рис.20 Диаграмма усилий от постоянной нагрузки
От снеговой нагрузки:
Рис. 21 Расчетная
схема для расчета фермы от снеговой
нагрузки
Сечение I-I
N1-2=0;
∑M2=0; F2∙3-N12-13∙3=0;
N12-13=(F2∙3)/3=F2=956,34 кН;
∑Y=0; F2+N12-2∙cos450=0;
N12-2=-(F2/cos450)=-(956,34/0,707)=-1352,67 кН;
N1-2=0 (B1-1), N12-13=956,34 кН (Н-2), N12-2=-1352,67 кН (1-2).
Сечение II-II
∑
M13=0;
N2-3∙3+F2∙6-F1∙3=0;
кН;
∑Y=0; F2 – F1 – N2-13∙cos450=0;
кН
N2-3= -1738,80 кН (В2-3), N2-13= 1106,73 кН (2-3).
Вырежем узел 3
∑Y=0; – F1– N3-13=0; N3-13=– F1;
N3-13= –173,88 кН (3-4).
Сечение
III-III
∑M4=0; F2∙9-F1∙6-F1∙3-N13-14∙3=0;
9F2 - 9F1 - 3N13-14=0;
кН;
∑M13=0; F2∙6-F1∙3+N3-4∙3=0;
кН.
∑Y=0;
F2+N13-4∙cos450-2F1=0;
кН.
N13-14= 2347,38 кН (Н-5), N3-4= -1738,80 кН (В3-4); N13-4= -860,79 кН (4-5).
Сечение IV-IV
∑M14=0; N4-5∙3+F2∙12-F1∙9- F1∙6-F1∙3=0;
= -2782,08 кН;
∑Y=0; F2 -3F1-N4-14∙cos450 =0;
кН.
N4-5=- 2782,08 кН (В4-6), N4-14= 614,85 кН (5-6).
Вырежем узел 5
∑Y=0;
-F1– N5-14=0;
N5-14= – F1;
N5-14= –173,88 кН (6-7).
Сечение V-V
∑M6=0; F2∙15-F1∙12-F1∙9-F1∙6-F1∙3-N14-15∙3=0;
кН;
∑M14=0; F2∙12-F1∙9-F1∙6-F1∙3+N5-6∙3=0;
кН;
∑Y=0; F2 +N14-6∙cos450-4F1=0;
кН;
N14-15= 3042,90 кН (Н-8), N5-6= -2782,08 кН (В5-7), N14-6= -368,91 кН (7-8).
Сечение
VI
– VI:
∑M7=0; F2∙18- F1∙15- F1∙12-F1∙9-F1∙6-F1∙3+N6-7∙3=0;
кН;
∑Y=0; F2 -5 F1 –N6-16∙cos450=0;
кН;
N6-7= -3129,84 кН (Н-8), N16-6= 122,97 кН (В5-7).
Вырежем узел 7
∑
Y=0;
– F1–
N7-16=0;
N7-16=–
F1;
N7-16= –173,88 кН (6-7).
Обозначим
полученные усилия в стержнях от постоянной
нагрузки:
Рис. 22 Диаграмма усилий от снеговой нагрузки
Результаты значений расчетных усилий стержней приведены в таблице 3.
От опорных моментов:
Для
определения усилий от опорных моментов
построим диаграмму от единичного
момента, приложенного к левой опоре.
Зеркальное отражение этих усилий дает
значение усилий от ед. момента, приложенного
к правой опоре.
Для построения диаграммы единичный момент заменим парой сил с плечом, равным расчетной высоте фермы на опоре:
кН.
Значения вертикальных опорных реакций фермы:
кН.
Рис. 23 Расчетная
схема от единичного момента
Рис. 24 Диаграмма усилий от единичного момента
Результаты расчета фермы приведены в таблице № 8.
Расчетные усилия в стержнях фермы, кН
Таблица 3
|
Элемент |
№ стержня |
Усилия от пост. нагруз. |
Усилия от снег. нагр. |
Усилия от опорных моментов |
Усилия от распора рамы |
Расчетные усилия | |||||||
|
nc=1 |
nc=0,9 |
S1 от М1=1 |
S2 от М2=1 |
S1∙M1 (M1=-1979,43кН∙м) |
S2∙M2 (M2=-1768,89 кН∙м) |
№ усилий |
растяж. (+) |
№ усилий |
сжат. (-) | ||||
|
1 |
2а |
2б |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
| ||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
Верхний пояс |
В1-1 |
0 |
0 |
0 |
-0,272 |
0 |
538,41 |
0 |
- |
3 |
538,41 |
- |
- |
|
В2-3 |
-543,6 |
-1738,80 |
-1564,92 |
-0,215 |
-0,009 |
425,58 |
15,92 |
- |
- |
- |
1+2a |
-2282,40 | |
|
В3-4 | |||||||||||||
|
В4-5 |
-869,76 |
-2782,08 |
-2503,87 |
-0,159 |
-0,047 |
441,02 |
83,14 |
- |
- |
- |
1+2a |
-3651,84 | |
|
В5-6 | |||||||||||||
|
В6-7 |
-978,48 |
-3129,84 |
2816,86 |
-0,103 |
-0,103 |
203,88 |
182,20 |
- |
- |
- |
1+2а |
-4108,32 | |
|
Нижний пояс |
Н-2 |
298,98 |
956,34 |
860,71 |
0,305 |
0,018 |
-206,90 |
-8,42 |
-117,76 |
1+2a |
1255,32 |
1+3+4+5 |
-34,10 |
|
Н-5 |
733,86 |
2347,38 |
2112,64 |
0,243 |
0,075 |
-164,84 |
-35,09 |
-11,07 |
1+2a |
3081,24 |
- |
- | |
|
Н-8 |
951,30 |
3042,90 |
2738,61 |
0,187 |
0,13 |
-126,85 |
-60,82 |
-104,4 |
1+2a |
3994,20 |
- |
- | |
|
Раскосы |
1-2 |
-422,89 |
-1352,67 |
-1217,40 |
-0,04 |
-0,04 |
78,39 |
70,05 |
- |
- |
- |
1+2a |
-1775,56 |
|
2-3 |
346,00 |
1106,73 |
996,06 |
-0,04 |
-0,04 |
78,39 |
70,05 |
- |
1+2a |
1452,73 |
- |
- | |
|
4-5 |
-269,91 |
-860,79 |
-774,71 |
-0,04 |
-0,04 |
78,39 |
70,05 |
- |
- |
- |
1+2a |
-1130,7 | |
|
5-6 |
199,22 |
614,85 |
553,37 |
-0,04 |
-0,04 |
78,39 |
70,05 |
- |
1+2a |
814,07 |
- |
- | |
|
7-8 |
-115,33 |
-368,91 |
-332,02 |
-0,04 |
-0,04 |
78,39 |
70,05 |
- |
- |
- |
1+2a |
-484,24 | |
|
8-9 |
38,44 |
122,97 |
110,67 |
-0,04 |
-0,04 |
78,39 |
70,05 |
- |
1+2а |
161,41 |
- |
- | |
|
Стойки |
3-4 |
-54,36 |
-173,88 |
-156,49 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
1+2а |
-228,24 |
|
6-7 |
-54,36 |
-173,88 |
-156,49 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
1+2а |
-228,24 | |
|
7-8 |
-54,36 |
-173,88 |
-156,49 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
1+2а |
-228,24 | |