Волновые процессы. Акустика

Волны – изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию – процесс распространения колебаний в пространстве.

Фронт волны (волновой фронт) –геометрическое место точек, до которых доходят волны за некоторый промежуток времени t.

Волновая поверхность– геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Основное свойство волн, независимо от их природы,– перенос энергии без переноса вещества в пространстве.

Длина волны– расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе (расстояние, на которое распространяется волна за один период):

; ,

где  – длина волны;

T – период;

 – частота;

v – скорость распространения волны.

Волновой векторkопределяет направление волны. Направление волнового вектора совпадает с направлением вектора скорости:

,

где  – круговая частота.

Волновое число–численное значение волнового вектора:

.

Групповая скорость– скорость перемещения в пространстве амплитуды волны:

.

Упругие– механические возмущения, возникающие и распространяющиеся в упругой среде. Различают продольные и поперечные волны.

Продольные волны – волны, направление распространения которых совпадает с направлением смещения (колебания) частиц среды.

Поперечные – волны, направление распространения которых и направление смещения (колебания) частиц среды взаимно перпендикулярны.

В жидкостях и газах возникают и распространяются только продольные волны («волны сжатия»).

В твердых телах возникают и распространяются не только продольные, но и поперечные волны («волны сдвига»).

Фазовая скорость упругих волн:

продольных – ,поперечных – ,

где E – модуль Юнга;

G – модуль сдвига.

Одиночная волна (импульс) – сравнительно короткое возмущение, не имеющее регулярного характера.

Волновой пакет– совокупность волн, частоты которых мало отличаются друг от друга.

Гармоническая волна – бесконечная синусоидальная волна, в которой все изменения среды происходят по закону синуса или косинуса.

Плоские волны–такие, волновые поверхности которых представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны.

Сферические волны– такие, волновые поверхности которых представляют собой систему концентрических сферических поверхностей.

Принцип суперпозиции волн – результат геометрического сложения когерентных волн.

Когерентные волны – обладающие в каждой из точек среды постоянной разностью фаз и имеющие одинаковую частоту.

Когерентные источники – точечные источники, размерами которых можно пренебречь, излучающие в пространство когерентные волны.

Интерференция волн – явление наложения когерентных волн, в результате которого происходит перераспределение энергии волны в пространстве.

Стоячая волна – волна, возникающая при интерференции двух встречных (падающей и отраженной) плоских волн с одинаковой амплитудой.

Уравнение стоячей волны:

,

где – амплитуда стоячей волны.

Условие максимального значения амплитуды стоячей волны:

,

где n = 0, 1, 2, 3

Условие минимального значения амплитуды стоячей волны:

,

где n = 0, 1, 2, 3

Пучности стоячей волны – точки, в которых амплитуда удваивается.

Узлы стоячей волны – точки, в которых амплитуда обращается в нуль.

Длина стоячей волны – расстояние между соседними узлам:

.

Скорость распространения стоячей волны

,

где L – некоторое расстояние, на котором наблюдается стоячая волна;

n – число узлов;

 – частота колебаний.

Бегущие волны– волны, которые переносят в пространстве энергию.

Уравнение плоской прямой бегущей волны, распространяющейся со скоростью vв направлении x, выражение, которое определяет смещение колеблющейся точки как функцию ее координат и времени:

,

где  – смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии x от источника гармонических колебаний;

₀ – амплитуда колебаний;

 – циклическая частота колебаний;

₀ – начальная фаза колебаний.

Уравнение плоской обратной бегущей волны:

.

Связь между разностью фаз двух точек бегущей волны и разностью хода (x₂– x₁),т.е. разностью расстояний этих точек от источника колебаний:

.

Волновое уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси X, дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных:

.

Волновое уравнение плоской волны, распространяющейся в трехмерном пространстве:

,

где – оператор (лапласиан).

Скорость звука в газах

,

где p – давление газа, не возмущенного волной;

 – плотность газа, не возмущенного волной;

–отношение молярной теплоемкости газа при постоянном давлении к теплоемкости газа при постоянном объеме.

Амплитуда звукового давления p₀ и амплитуда скорости v₀ частиц в звуковой волне связаны соотношением

.

Интенсивность звука I, выраженная через амплитуду звукового давления – энергия, переносимая звуковой волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны:

,

где  – плотность газа.

Уровень интенсивности звука (в децибелах) определяется формулой

,

где I – интенсивность данного звука;

I₀ = 10^–12 Вт/м² – интенсивность звука на пороге слышимости при стандартной частоте  = 1 кГц.

Уровень громкости звука (в фонах) вычисляется по формуле

,

где I_N – интенсивность звука стандартной частоты  = 1 кГц, равногромкого с исследуемым звуком.

Явление Доплера – если источник и приемник звука перемещаются относительно среды, в которой распространяется звук, то частота звуковых колебаний ^', регистрируемая приемником звука, связана с частотой собственных колебаний  источника соотношением

,

где c, u, v – скорости соответственно звука, его источника и приемника.

Примечание. Записанная формула относится к случаю, если источник и приемник звука движутся по одной прямой. При этом величины u, v – алгебраические: u > 0, если источник движется к приемнику; u < 0, если источник удаляется от приемника. Аналогично v > 0, если приемник приближается к источнику; v < 0, если приемник движется от источника.

Вектор плотности потока энергии волны – физическая величина, модуль которой равен энергии W, переносимой волной за единицу времени (t = 1) через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны (S_):

; = u v; J = uv,

где u – плотность энергии в каждой точке среды, среднее значение которой вычисляется по формуле ;

ρ – плотность среды;

₀ – амплитуда волны;

 – круговая (циклическая частота);

v – фазовая скорость (скорость перемещения фазы волны).