2. Алгебраический метод

Пример 1. Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу из А в В и из В в А. После встречи одному из них приходится быть в пути еще на 2,5 ч. больше, чем другому. Определите скорости автомобилей, если они отличаются на 30 км/ч, а расстояние между А и В равно 450 км.

Решение. Пусть х км/ч – скорость первого автомобиля, у км/ч – скорость второго автомобиля. Без ограничения общности будем считать, что х < у. Тогда 450/(x + у) ч – время, через которое автомобили встретятся.

Значит, первый автомобиль пройдет до встречи х км (столько километров еще предстоит проехать второму), второй автомобиль пройдет до встречи у км (столько километров еще предстоит проехать первому) (рис.19)

Рис. 19

Первый автомобиль проедет оставшийся путь за ч., второй зач. По условию после встречи первый был в пути на 2,5 ч. больше, чем второй, значит, первое уравнение будет иметь вид:

По условию скорость второго автомобиля на 30 км/ч больше, чем первого. Следовательно, еще одно уравнение запишется в виде у – х = 30. Таким образом, имеем систему:

Преобразуем первое уравнение системы:

Учитывая, что у – х = 30, получаемху = 5400. Итак, исходная система уравнений равносильна системе:

решив которую найдем х₁ = 60,у₁ = 90;х₂ = -90,у₂ = -60. Второе решение не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: скорости автомобилей 60 км/ч, 90 км/ч.

Пример 2. Если одновременно открыть два крана, то бассейн наполнится за 4 ч. 30 мин. Если наполнить половину бассейна через один кран, адругую половину – через другой, то для наполнения бассейна потребуется 12 ч. За сколько часов заполняется бассейн через каждый кран?

Решение.Пусть первый кран наполняет бассейн зах ч., второй зау ч. Примем объем бассейна за единицу. Тогда 1/х –производительность первого крана, 1/y –производительность второго крана. Так как оба крана одновременно наполняют бассейн за 4,5 ч., то получим первое уравнение

Первый кран наполняет бассейн за х часов, поэтому для наполнения половины бассейна этим краном потребуетсях/2 ч. Аналогично рассуждая, определим, что для наполнения половины бассейна вторым краном потребуетсяу/2 ч. Следовательно, из второго условия получим следующее уравнение:

Таким образом, имеем систему:

Преобразовав первое уравнение системы, получим:

9(24 – x) + 9x= 2x(24 –x) =>x^{2 –} 24x+ 108 = 0.

Решив квадратное уравнение, находим х₁ = 18,х₂ = 6.

Из второго уравнения системы получаем у₁ = 24 – 18 = 6 (ч.),

у₂ = 24 – 6 = 18 (ч.).

Итак, бассейн может быть наполнен первым краном за 18 ч или за 6 ч, а вторым – за 6 ч. или за 18 ч.

Ответ: 18 ч. и 6 ч.; 6 ч. и 18 ч.

Пример 3. Вкладчик кладет в банк, который выплачиваетр% годовых, 160000 р. В конце года он берет себе 2400 р. из капитала и, приложив полученные проценты, снова помещает капитал на тех же условиях. По окончании второго года он взял опять 2400 р., у него осталось 168987 р. Сколько процентов годовых выплачивает банк?

Решение.Если банк выплачивает р% в год, то в начале второго года в банке лежит (160000(1 + 0,01 р) – 2400) р. По окончании второго года имеем (160000(1 + 0,01 р) – 2400)(1 + 0,01 р) р., следовательно, по условию задачи получим уравнение

(160000 (1 + 0,01р) – 2400)(1 + 0,01р) – 2400 = 168987,

или

16 р²+3176 р– 13787 = 0.

Решив последнее уравнение, найдем р₁= 4,25,р₂ = -202,75. Второй корень не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: банк выплачивает 4,25% годовых.

Пример 4. Сколько лет брату и сколько лет сестре, если 2 года назад брат был старше сестры в 2 раза, а 8 лет назад – в 5 раз?

Решение. Пусть 8 лет назад брату было х лет, а сестре – у лет. Тогда по условию имеем первое уравнение х = 5у.

Два года назад брату было (х + 6) лет, а сестре (у + 6) лет. Следовательно, второе уравнение примет вид: х + 6 = 2(у + 6).

Итак, имеем систему:

решив которую, найдем: х = 10, у = 2.

Учитывая, что 8 лет назад брату было 10 лет, а сестре 2 года, находим, что сейчас брату 10 + 8=18 лет, а сестре: 2 + 8 = 10 лет.

Ответ: 18 лет брату и 10 лет сестре.

Пример 5. На межгалактическом конгрессе присутствовали 1996 участников. При этом выяснилось, что первый инопланетянин знаком с 97 землянами, второй – с 98 землянами, ..., последний – со всеми землянами. Сколько инопланетян и сколько землян было на конгрессе?

Решение. Пусть число инопланетян, присутствовавших на конгрессе, равно п. Тогда число землян равно 1996 – п. Инопланетянин с номером к (1  к п) знаком с к + 96 землянами. Следовательно, инопланетянин с номером n знаком с п + 96 землянами. Поскольку по условию задачи это были все земляне, присутствовавшие на конгрессе, получаем уравнение:

1996 – n = n + 96,

решив которое, найдем n = 950. Значит, землян на конгрессе было 1996 – 950 = 1046.

Ответ: на конгрессе было 950 инопланетян; 1016 землян.