Значит, второе уравнение запишется в виде:

Таким образом, получили следующую систему двух уравнений с двумя неизвестными:

решив которую найдем: х = 1, у = 2.

Ответ: первый раствор весит 1 кг, второй – 2 кг.

Пример. Влажность свежескошенной травы составляет 80%. Влажность полученного из нее сена равна 10%. Сколько нужно скосить травы, чтобы получить 2 т сена?

Решение. Так как влажность сена равна 10%, на сухое вещество в нем приходится 90%. Значит, в 2 т сена ^{находитсясухого вещества. Эти же 1,8 т сухого} вещества должны составить 20% массы свежескошенной травы, так как ее влажность по условию задачи равна 80%. Следовательно, если через х мы обозначим массу травы, которую надо накосить, чтобы получить 2 т сена, то получим пропорцию.

из которой находим

Ответ: надо накосить 9 т травы.

Пример. Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 3 : 5, а в другом – в отношении 1 : 3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 20 кг нового сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 3 : 7?

Решение. Пусть первого сплава нужно взять х кг, а второго – у кг. Согласно условию задачи составим таблицу.

Таблица 2

Пользуясь таблицей 2, составим следующую систему уравнений:

решив которую найдем х = 8, у = 12.

Ответ: нужно взять 8 кг первого сплава и 12 кг второго сплава.

Пример. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите массу олова в новом сплаве.

Решение: Пусть х кг – масса олова в новом сплаве, у кг – масса цинка в первом сплаве. Так как новый сплав весит 400 кг и в нем 30% цинка, то он содержит цинка 30 = 120 (кг). Тогда во втором сплаве цинка (120 – у) кг (рис. 18 а). По условию процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково, следовательно, получаем урав­нение

решив которое, найдем у = 45 (кг). Следовательно, цинка во втором сплаве 120 – 45 = 75 (кг). Так как первый сплав содержит 40% олова, то в 150 кг этого сплава будет 60 (кг), а значит, во втором сплаве олова будет (х – 60) кг. Так как второй сплав содержит 26% меди, то в 250 кг этого сплава меди будет

Рис. 18

Итак, содержание металлов в сплавах теперь такое, как показано на рисунке 18 б. Видим, что во втором сплаве, который весит 250 кг, содержится 75 кг цинка, 65 кг меди, (х– 60) кг олова, поэтому имеет место уравнение 75 + 65 + (х– 60) = 250, решив которое найдемх= 170.

Ответ: в новом сплаве содержится 170 кг олова.

5.Среди распространенных методов решения текстовых задач важное значение имеет арифметический метод. Он способствует развитию логического мышления, его гибкости и оригинальности, формированию таких умственных действий, как анализ и синтез. Однако в некоторых случаях бывает непросто сразу найти арифметическое решение задачи. Реальную помощь в такой ситуации может оказать алгебраический метод, с помощью которого, получив ответ на требование задачи, можно попытаться отыскать и ее арифметическое решение.

Предварительно сделаем несколько замечаний.

Не всегда (и даже далеко не всегда) текстовая задача, решаемая алгебраическим методом, может быть решена арифметически. Как правило, задачи, в ходе решения которых получаются квадратные уравнения или уравнения высших степеней, арифметическим методом решить нельзя.

Если при решении задачи алгебраическим методом ее модель сводится к линейному уравнению или системе линейных уравнений, то можно построить и ее арифметическую модель, то есть можно решить задачу, применяя арифметический метод.

Вид линейного уравнения, вообще говоря, не всегда «подсказывает» арифметический путь решения задачи, однако дальнейшие преобразования уравнения позволяют его найти. При этом, составив уравнение и решая его, в некоторых случаях можно арифметические действия между данными только намечать, но не выполнять. Тогда найденное для неизвестного числовое выражение будет фактически арифметической моделью данной задачи. Затем необходимо лишь сформулировать вопросы, чтобы записать решение задачи по действиям. Однако как раз именно это сделать бывает нелегко. Нужен определенный опыт установления такой связи между данными методами решения.

Решение системы линейных уравнений практически сразу дает возможность наметить ход рассуждений для решения задачи ариф­метическим методом.

Пример. В 8 ч утра из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 60 км/ч. В 11 ч из пункта В ему навстречу вышел другой поезд со скоростью 70 км/ч. В какое время поезда встретятся, если расстояние между пунктами 440 км.

Алгебраический метод приводит к следующему уравнению: (60 + 70)х+ 603 = 440, или 130х+ 180 = 440, гдех ч – время движения второгопоезда до встречи. Тогда 130х = 440 – 180 => => 130х = 260 => х = 2 (ч.). Проделанные рассуждения и выкладки «подсказывают» следующий арифметический путь решения задачи. Найдем: сумму скоростей поездов (60 + 70 = 130); время движения первого поезда до начала движения второго поезда (11 – 8 = 3); расстояние, пройденное первым поездом за 3 ч. (603 = 180);расстояние, которое осталось пройти поездам до встречи (440 – 80 = 260); время движения второго поезда до встречи (260 : 130 = 2). Этапы решения задач алгебраическим и арифметическим методами будем параллельно записывать в таблице 3. Эта таблица позволит наглядно проследить, как алгебраические преобразования в ходе решения уравнений, являющихся моделью текстовой задачи, помогают найти ее арифметическое решение.

Таблица 3

Оформим решение задачи арифметическим методом:

1. 11 – 8 = 3 (ч.) – был в пути первый поезд до начала движения второго;

2. 60 3 = 180 (км) – прошел первый поезд за 3 ч;

3. 440 – 180 = 260 (км) – расстояние, пройденное поездами при одновременном движении;

4. 60 + 70 = 130 (км/ч) – скорость сближения поездов;

5. 260 : 130 = 2 (ч.) – время движения второго поезда;

6. 11 + 2 = 13 (ч) – в такое время поезда встретятся.

Ответ: поезда встретятся в 13 ч.

Пример. Школьники купили 4 книги, после чего у них осталось 40 р. Если бы они купили 7 таких же книг, то у них осталось бы 16 р. Сколько стоит одна книга?

Алгебраический метод приводит к следующему уравнению: 4х + 40 = 7х+ 16, гдех р. – стоимость одной книги. В ходе решения данного уравнения мы проделываем следующие выкладки: 7х – 4х = 40 – 16 => Зх = 24 =>х = 8, которые вместе с рассуждениями, использовавшимися при составлении уравнения, приводят к следующему арифметическому способу решения задачи. Найдем: на сколько больше купили бы книг (7 – 4 = 3); на сколько меньше осталось бы денег, то есть на сколько больше денег израсходовали (40 – 16 = 24); сколько стоит одна книга (24 : 3 = 8). Проделанные рассуждения сведем в таблицу 4.

Таблица 4

Оформим решение задачи арифметическим методом:

1. 7 – 4 = 3 (кн.) – на столько книг купили бы больше;

2. 40 – 16 = 24 (р.) – на столько рублей заплатили бы больше;

3. 24 : 3 = 8 (р.) – стоит одна книга.

Ответ: одна книга стоит 8 р.

Пример. Из пункта А в пункт В вышел пароход со скоростью 24 км/ч. Из этого же пункта А восемью часами раньше вышел буксир с баржами со скоростью 8 км/ч. Буксир пришел в пункт В на 16 ч. позже, чем пароход. Найдите расстояние между пунктами А и В.

Этапы решения задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения данной задачи арифметическим методом показаны в таблице 5. В таблице мы не будем выполнять арифметические действия между данными задачи, а лишь наметим их и получим решение задачи в виде числового выражения, которое позволит сформулировать вопросы, чтобы записать решение задачи по действиям. Такой способ установления связи между методами решения мы покажем на примере только этой задачи.

Таблица 5

Таблица 6

Используя данные этих двух таблиц, получим арифметическое решение задачи:

1. 8 + 16 = 24 (ч) – на столько часов больше был в пути буксир, чем пароход;

2. 8 24 = 192 (км) – путь, который буксир прошел за 24 ч.;

3. 24 – 8 = 16 (км/ч) – на столько километров в час скорость парохода больше скорости буксира;

4. 192 : 16 = 12 (ч.) – время движения парохода из пункта А в пункт В;

5. 24  12 = 288 (км) – расстояние между пунктами А и В.

Ответ: 288 км – расстояние между пунктами А иВ.

Пример. По окончании спектакля 174 зрителя из театра разошлись пешком, а остальные поехали на трамваях в 18 вагонах, причем в каждый вагон садилось на 5 человек больше, чем было в нем мест. Если бы зрители, уезжавшие из театра на трамвае, садились в него по числу мест, то понадобилось бы еще 3 вагона, причем в последнем осталось бы 6 свободных мест. Сколько всего зрителей было в театре?

Этапы решения задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения задачи арифметическим методом показаны в таблице 7.

Используя данные этой таблицы, получаем арифметическое решение задачи:

1. 5 – 18 = 90 (чел.) – на столько человек больше, чем мест, было в 18 вагонах;

2. 90 + 6 = 96 (м.) – столько мест в трех вагонах;

3. 96 : 3 = 32 (м.) – столько мест в одном вагоне;

4. 32 + 5 = 37 (чел.) – было в каждом из 18 вагонов;

5. 37  18 = 666 (чел.) – зрителей уехало на трамваях;

6. 666 + 174 = 840 (чел.) – всего зрителей было в театре.

Ответ: в театре было 840 чел.

Таблица 7

Поиск арифметического метода решения задач, математическая модель которых представляет собой систему линейных уравнений, значительно проще. Вместе с тем следует иметь в виду, что это решение получается лишь в том случае, когда решение системы находится не методом подстановки, а каким-либо другим методом.

Пример. Для похода 46 школьников приготовили четырех– и шестиместные лодки. Сколько было тех и других лодок, если все ребята разместились в десяти лодках и свободных мест не осталось?

Этапы решения задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения данной задачи арифметическим методом показаны в таблице 8.

Используя данные таблицы 8, получаем арифметическое решение задачи:

1. 4  10 = 40 (чел.) – разместилось бы столько человек, если бы все лодки были четырехместными;

2. 6 – 4 = 2 (чел.) – на столько шестиместная лодка вмещает больше, чем четырехместная;

3) 46 – 40 = 6 (чел.) – столько мест не хватит для всех школьников, если их разместить только на четырехместные лодки;

4) 6 : 2 = 3 (л.) – столько было шестиместных лодок;

5) 6  3 = 18 (чел.) – разместятся на шестиместных лодках;

6) 46 – 18 = 28 (чел.) – разместятся на четырехместных лодках; 28 : 4 = 7 (л.) – столько было четырехместных лодок.

Ответ: было 3 шестиместные лодки и 7 четырехместных лодок.

Таблица 8

Пример. 3 ручки и 4 блокнота стоят 26 р., а 7 ручек и 6 таких же блокнотов стоят 44 р. Сколько стоит блокнот?

Этапы решения задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения данной задачи арифметическим методом показаны в таблице 9.

Таблица 9

Используя данные этой таблицы, получаем арифметическое решение задачи.

1. 26  7 = 182 (р.) – стоят 21 ручка и 28 блокнотов;

2. 44  3 = 132 (р.) – стоят 21 ручка и 18 блокнотов;

3. 28 – 18 = 10 (шт.) – на столько блокнотов в первой покупке было бы больше, чем во второй;

4. 182 – 132 = 50 (р.) – стоят 10 блокнотов;

5. 50 : 10 = 5 (р.) – стоит 1 блокнот.

Ответ: блокнот стоит 5 р.

Совершенно аналогично находится арифметическое решение задач, представленных другими алгебраическими моделями, в основе которых лежат линейные уравнения. Однако, как уже отмечалось ранее, этапы решения некоторых линейных уравнений совсем непросто истолковывать соответствующими пояснениями в ходе арифметического решения.