24 Пальто и 45 костюмов – 204 м,

24 Пальто и 30 костюмов – 162 м.

Сколько м ткани расходуется на одно пальто и на один костюм?

В условии задачи даны две партии ткани. В первой партии 204 м, во второй – 162 м. Ткани во второй партии меньше, потому что меньше сшито костюмов. Число пальто в первом и во втором случае одинаково. Очевидно, лишние 42 м ткани (204 – 162) в первой партии пошли на пошив 15 лишних костюмов (45 – 30). Зная, что 42 м идет на пошив 15 костюмов, можно узнать, сколько метров ткани идет на 1 костюм. Чтобы узнать, сколько метров идет на пальто, надо знать, сколько метров идет на все 24 пальто. В условии дано, что 162 м идет на 24 пальто и на 30 костюмов, но мы уже знаем, сколько метров идет на 1 костюм, следовательно, можем подсчитать, сколько метров пойдет на 30 костюмов, а потом узнаем, сколько ткани израсходовано на 24 пальто. Зная, сколько метров идет на 24 пальто, определим, сколько метров идет на 1 пальто.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

1. 204 – 162 = 42 (м) = 4 200 (см) – на столько метров больше израсходовано ткани в первый раз;

2. 45 – 30 = 15 (к.) – столько лишних костюмов сшито в первый раз;

3. 4200 : 15 = 280 (см) – ткани идет на 1 костюм;

4. 280  30 = 8 400 (см) – ткани идет на 30 костюмов;

5. 16 200 – 8 400 = 7 800 (см) – ткани идет на 24 пальто;

6. 7 800 : 24 = 325 (см) – ткани идет на 1 пальто.

7. Ответ: 2 м 80 см расходуется на пошив 1 костюма; 3 м 25 см расходуется на пошив 1 пальто.

Пример. За 14 кубометров березовых и 6 кубометров сосновых дров уплачено 3760 р. В другой раз при тех же ценах за 37 кубометров березовых и 18 кубометров сосновых дров уплачено 10280 р. Сколько стоит кубометр тех и других дров?

Решение. Решим задачу способом уравнивания данных и искомых.

Краткая запись задачи (а):

а) 14 м³ березовые и 6 м³ сосновые – 3760 р.,

37 м³ березовые и 18 м³ сосновые – 10280 р.,

Сколько стоит 1 м³ тех и других видов?

В условии задачи даны две покупки. Второй раз уплачено больше, потому что больше куплено березовых и сосновых дров. Надо изменить условие задачи так, чтобы количество каких-нибудь дров в обеих покупках было одинаково. Тогда разница в стоимости будет зависеть только от разницы в количестве одного какого-нибудь сорта дров. В данной задаче легко выравнять количество сосновых дров, увеличив в первой покупке все данные в 3 раза. Умножаем на 3 все числовые данные первой строчки: 14  3 = 42 (м³);

6  3 = 18 (м³); 3 760  3 = 11280 р. Получили задачу, краткая запись которой показана (б):

б) 42 м³ березовые и 18 м³ сосновые – 11280 р.,

37 м³ березовые и 18 м³ сосновые – 10280 р.,

Сколько стоит 1 м³ тех и других дров?

Дальше задача решается так же, как и предыдущая: на исключение не­известных при помощи вычитания.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

1. 18 : 6 = 3 (раз) – во столько раз во второй покупке сосновых дров больше, чем в первой;

2. 14  3 = 42 (м³) – купили бы березовых дров в первый раз;

3. 6  3 = 18 (м³) – купили бы сосновых дров в первый раз;

4. 3760  3 = 11 280 (р.) – заплатили бы за первую покупку;

5. 11280 – 10280 = 1 000 (р.) – на столько рублей заплатили бы больше за первую покупку, чем за вторую;

6. 42 – 37 = 5 (м³) – купили бы березовых дров больше в первый раз, чем во второй;

7. 1 000 : 5 = 200 (р.) – стоит 1 кубометр березовых дров;

8. 200  37 = 7400 (р.) – стоят 37 кубометров березовых дров;

9. 10280 – 7400 = 2880(р.) – стоят 18 кубометров сосновых дров;

10. 2 880 : 18 = 160 (р.) – стоит 1 кубометр сосновых дров.

Ответ: 200 р.; 160 р.

Пример. В 12 одинаковых мешках и 9 одинаковых ящиках хранится 645 кг моркови. В мешке вмещается моркови на 10 кг больше, чем в ящике. Сколько моркови хранится в одном мешке и одном ящике?

Решение. Решим задачу способом замены данных. Графическая мо­дель задачи представлена на рисунке 12.

Рис. 12

По условию задачи мешок вмещает на 10 кг моркови больше, чем ящик. Следовательно, если мы будем знать, сколько килограммов моркови вмещает ящик, то легко найдем, сколько килограммов моркови вмещает мешок. 645 кг моркови хранятся в мешках и ящиках. Каждый мешок вмещает моркови на 10 кг больше, чем ящик. При замене одного мешка ящиком масса хранящейся моркови становится меньше на 10 кг. Таким образом, если бы вместо 12 мешков взяли 12 ящиков, то масса хранящейся моркови стала бы меньше на 10  12 кг.

Дальше можно узнать, сколько весила бы вся морковь, если бы вместо 12 мешков взяли 12 ящиков. Зная число ящиков (9 +12 = 21) и их вместимость, можно узнать, сколько килограммов моркови вмещает один ящик; а зная, сколько килограммов моркови вмещает ящик, найдем, сколько килограммов моркови вмещает мешок.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

1. 10  12 = 120 (кг) – на столько килограммов моркови хранится меньше в 12 ящиках, чем в 12 мешках;

2. 645 – 120 = 525 (кг) – столько весила бы вся морковь, если бы вместо 12 мешков взяли 12 ящиков;

3. 12 + 9 = 21 (ящ.) – было бы взято ящиков;

4. 525 : 21 = 25 (кг) – моркови вмещает один ящик;

5. 25 + 10 кг = 35 (кг) – моркови вмещает один мешок.

Ответ: 35 кг, 25 кг.

Примечание. Мы заменили мешки ящиками. Можно заменить ящики мешками. Тогда масса всей хранящейся моркови будет больше на 10  9 кг. План и решение задачи будут аналогичны вышеприведенным.

Пример. С двух участков общей площадью в 51 га собрано 2 221 т картофеля. С каждого гектара одного участка собирали по 486 ц, а с каждого гектара второго участка собирали по 325 ц картофеля. Определите площадь каждого участка.

Решение. Решим задачу способом «на предположение». Краткая запись задачи представлена на рисунке 13.

1-й уч.– по 486 ц с 1га 2-й уч. – по 325 ц с 1 гa О 51га – 222т пределите площадь каждого участка.

Рис. 13

Предположим, что с каждого гектара второго участка собирали столько же картофеля, сколько и с первого, то есть по 486 ц, тогда с 51 га было бы собрано 486  51 ц. На самом деле картофеля собрано меньше: (486  51 – 22 210) ц, потому что с каждого гектара второго участка собирали не 486 ц, а 325 ц, то есть на 161 ц меньше. Очевидно, сколько раз 161 ц содержится в (486  51 – 22210) ц, столько гектаров и было во втором участке. Запишем решение по действиям с пояснениями:

1. 486  51 = 24 786 (ц) – был бы урожай картофеля с обоих участков, если бы с каждого гектара второго участка собирали столько же, сколько и с первого, то есть по 486 ц;

2. 24 786 – 22 210 = 2 576 (ц) – разница между предполагаемым урожа­ем и действительным урожаем;

3. 486 – 325 = 161 (ц) – на столько центнеров с каждого гектара второго участка собирали картофеля меньше, чем с одного гектара первого участка;

4. 2 576 : 161 = 16 раз (га) – площадь второго участка;

5. 51 – 16 = 35 (га) – площадь первого участка.

Проверка. Подсчитываем урожай с каждого участка отдельно, а потом весь урожай с обоих участков. Должно получиться 2 221 т. Задачу можно решить, предполагая, что с каждого гектара обоих участков собирали по 325 ц. Составление плана решения и само решение задачи по существу будут те же.

Ответ: 35 га; 16 га.

4. Нахождение процентов (части) от данного числа

К задачам этого вида относятся задачи, в которых требуется найти р процентов (т/п часть) от числа А. Алгебраическая модель:

Пример. В телевизионной игре некто выиграл 12 000 р. Две пятых этой суммы он истратил на покупку бытовой техники, четвертую часть по­ложил в банк, остальные деньги потратил на турпоездку с семьей во время летнего отпуска. Сколько стоила эта поездка?

Решение. Краткая запись задачи показана на рисунке 14.

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать: 1) весь выигрыш; 2) деньги, израсходованные на бытовую технику; 3) деньги, положенные в банк.

2/5 –	покупка бытовой техники техники;
1/4 –	в банк;	12 000 р.
остальные – турпоездка. Сколько стоила поездка?

Рис. 14

Весь выигрыш известен из условия задачи, остальные величины надо оп­ределить. На бытовую технику израсходовано 2/5 части выигрыша. Можно начать решение задачи с определения этой части выигрыша (все данные имеются). Затем надо определить количество денег, положенных в банк: 1/4 выигрыша. Чтобы найти искомую стоимость, надо из общего количе­ства денег вычесть деньги, затраченные на покупку бытовой техники, и день­ги, положенные в банк.

Запишем решение задачи по действиям с пояснениями:

1. (12 000 : 5)  2 = 4 800 (р.) – израсходовано на покупку бытовой техники;

2. 12 000 : 4 = 3 000 (р.) – положено в банк;

3. 4 800 + 3 000 = 7 800 (р.) – израсходовано на покупку бытовой техники и положено в банк;

4. 12 000 – 7 800 = 4 200 (р.) – осталось на турпоездку.

Ответ: поездка стоила 4 200 р.

Пример. Совхоз имеет 1 400 га земли; 32% ее занято рожью, 35% – пшеницей, 22% – овсом, остальное – клевером.

Сколько гектаров земли под рожью, пшеницей, овсом и клевером отдельно?

Решение. Краткая запись задачи:

Рожь – 32%

Пшеница – 35% 1400 га

Овес – 22%

Клевер – остальное

Сколько гектаров занято каждой культурой?

Площадь всего участка составляет 100%. Чтобы узнать, сколько гектаров занято каждой культурой, надо знать, сколько процентов площади занято каждой культурой и сколько гектаров приходится на 1%. Сначала найдем 1% от 1 400 га. Затем находим, сколько гектаров занято каждой культурой.

Оформим решение задачи по действиям с записью пояснений в вопросительной форме.

1. Сколько гектаров составляет 1 % всей земли?

1 400: 100 = 14 (га).

2. Сколько гектаров земли занято рожью?

14  32 = 448 (га).

3. Сколько гектаров занято пшеницей?

14 • 35 = 490 (га).

4. Сколько гектаров занято овсом?

14  22 = 308 (га).

5. Сколько всего гектаров занято рожью, пшеницей и овсом?

448 + 490 + 308 = 1 246 (га).

6. Сколько гектаров земли занято клевером?

1400 – 1 246 = 154 (га).

Задачу можно проверить, решив ее другим способом. Первые четыре вопроса и четыре действия остаются те же.

5. Сколько процентов земли занято рожью, пшеницей и овсом?

35 + 32 + 22 = 89 (%).

6. Сколько процентов земли занято клевером?

100 – 89 = 11 (%).

7. Сколько гектаров земли занято клевером?

14 – 11 = 154 (га).

Ответ: рожью занято 448 гектаров, пшеницей – 490 гектаров, овсом – 308 гектаров, клевером – 154 гектара.

Нахождение числа по данной величине его процента (части)

К задачам этого вида относятся задачи, в которых требуется найти число, если р процентов (т/п часть) его составляют а.

Алгебраическая модель:

или

Пример. Молоко пропускали через сепаратор и из полученных сливок сбивали масло. Масса масла, сбитого из сливок, составляет 16% массы сливок, а все сливки – 20% массы молока. Сколько литров молока нужно взять, чтобы получить 73 кг 800 г масла, если 1 л молока весит 1 025 г?

Решение. Краткая запись задачи:

Масла 73 кг 800 г;

Масло составляет 16% массы сливок; Сливки составляют 20 % массы молока;

1 л молока весит 1025 г.

Сколько литров молока надо взять?

73 кг 800 г масла получили из сливок. Масса масла составляет 16% массы сливок, а масса сливок равна 100%. По массе масла определим массу сливок, из которых сбито масло. Масса сливок, в свою очередь, составляет 20% массы молока, а масса молока равна 100%. Зная массу сливок, определим массу молока, из которого приготовлено 73 кг 800 г масла. Зная массу1 л молока и массу всего молока, найдем, сколько литров молока надо взять для приготовления 73 кг 800 г масла, то есть ответим на вопрос задачи. Оформим решение по действиям с записью пояснений в вопросительной форме.

1. Сколько весят сливки, необходимые для приготовления 73 кг 800 г масла?

73 кг 800 г = 73800 (г).

(73800 : 16)  100 = 461250 (г).

2. Сколько весит молоко?

(461250 : 20)  100 = 2306 250 (г).

3. Сколько литров молока нужно взять?

2306250 : 1025 = 2250 (л).

Ответ: требуется взять 2 250 л молока.

Пример. Из имеющихся денег израсходовали на покупку продуктов, – на билеты в театр, на остальные деньги купили газеты и 4 журнала. Продукты стоили на р. дороже газет и журналов. Сколько было денег и сколько стоили продукты?

Решение. Краткая запись задачи:

Продукты – 1/3 всего заработка;

Б

? р.

илеты – 2/5 всего заработка;

Газеты и журналы – остальное;

Продукты дороже газет и журналов на р.

Сколько было денег и сколько стоили продукты?

Все деньги представляют собой сумму трех слагаемых: часть имеющихся денег израсходована на продукты, часть – на билеты и остальная часть – на газеты и журналы. Первые два слагаемых известны, третье неизвестно. Но оно составляет разность между всеми деньгами и суммой этих слагаемых. Зная части имеющихся денег, израсходованных на продукты, газеты и журналы, найдем разность между ними в частях всех денег, которая в то же время равна р. По данной величине дроби найдем всю сумму, то есть получим ответ на первый вопрос задачи. Зная всю сумму, найдем ее часть, израсходованную на продукты, то есть получим ответ на второй вопрос задачи.

Оформим решение по действиям с записью пояснений в вопросительной форме.

1. Какая часть денег израсходована на продукты и билеты в театр?

2. Какая часть денег израсходована на газеты и журналы?

3. На какую часть денег расход на продукты больше расхода на газеты и журналы?

4. Какова вся сумма денег?

5. Сколько стоят продукты?

Ответ: всего было 117 р.; продукты стоили 39 р.

Нахождение процентного отношения двух чисел

К задачам этого вида относятся задачи, в которых требуется определить, сколько процентов составляет число В от числа А. Алгебраическая модель:

Примечание. Задачи этой группы могут рассматриваться как задачи на пропорциональные величины и поэтому могут решаться всеми способами решения задач на простое тройное правило.

Пример. В школе обучается 320 мальчиков и 350 девочек. На занятиях присутствуют 304 мальчика и 336 девочек. Сколько присутствует в школе (в процентах): а) мальчиков; б) девочек; в) всех учащихся? г) сколько процентов составляет число отсутствующих учащихся от числа присутствующих?

Решение.

1) – мальчиков присутствует в школе;

2) – девочек присутствует в школе;

3) 320 + 350 = 670 (уч.) – всего учащихся в школе;

4) _{304 + 336 = 640 (уч.)} – присутствуют в школе;

5) – всех учащихся присутствует в школе;

6) 670 – 640 = 30 (уч.) – отсутствуют в школе;

7) – составляет число отсутствующих учащихся от числа присутствующих.

Ответ: а) 95%; б) 96%; в); г)

5. Задачи, решаемые с конца, или обратным ходом

К задачам этой группы относятся задачи, которые решаются на основе зависимости между прямыми и обратными действиями. Чтобы определить неизвестное, надо с конечным результатом выполнить обратные операции в обратном порядке.

Примечание. Большое разнообразие видов данных задач не позволяет построить их универсальную алгебраическую модель.

Пример. Некто истратил 30 р. своих денег, после чего удвоил оставшиеся деньги. Затем он истратил 60 р., после чего опять удвоил оставшиеся деньги. Когда он еще истратил 90 р., у него осталось 70 р. Сколько денег было вначале?

Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 15.

Рис. 15

Чтобы определить, сколько денег было первоначально, нужно с конечным результатом выполнить обратные операции в обратном порядке. Сначала узнаем, сколько денег было до того, как истратили 90 р., затем узнаем, сколько денег было до того, как второй раз удвоили оставшиеся деньги. После этого находим, сколько денег было до того, как истратили 60 р., и, наконец, узнав, сколько денег было до того, как первый раз удвоили оставшиеся деньги, в последнем действии определяем первоначальное количество денег.

Запишем решение по действиям с пояснениями:

1. 70 + 90 = 160 (р.) – было до того, как некто истратил 90 р.;

2. 160 : 2 = 80 (р.) – было до того, как некто второй раз удвоил оставшиеся деньги;

3. 80 + 60 = 140 (р.) – было до того, как некто истратил 60 р.;

4. 140 : 2 = 70 (р.) – было до того, как некто первый раз удвоил оставшиеся деньги;

5. 70 + 30 = 100 (р.) – было первоначально.

Ответ: первоначально было 100 р.

Пример. Три крестьянина зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель и заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едой на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтобы не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий и сделал то же, что и его товарищи. Когда первый опять проснулся, то разбудил своих товарищей. Тогда все выяснилось. Сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен съесть каждый, чтобы всем досталось поровну, если третий крестьянин оставил 8 картофелин?

Решение. Третий крестьянин оставил для товарищей 8 картофелин, то есть каждому по 4 штуки. Значит, и сам он съел 4 картофелины. Следовательно, второй крестьянин оставил своим товарищам 12 картофелин, то есть по 6 на каждого, значит, и сам съел 6 штук. Так что первый крестьянин оставил товарищам 18 картофелин, по 9 штук на каждого, значит, и сам съел 9 штук.

Итак, хозяйка подала на стол 27 картофелин, и на долю каждого крестьянина приходилось по 9 картофелин. Но первый всю свою долю съел. Следовательно, из восьми оставшихся картофелин приходится на долю второго 3, а на долю третьего 5 штук.

Ответ: на стол подано 27 картофелин, второй должен съесть 3, а третий – 5 картофелин.