методичка_математика_661
.pdfФедеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Воронежская государственная лесотехническая академия»
МАТЕМАТИКА
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Методические указания и индивидуальные задания для студентов 1 курса специальностей
190601 – Автомобили и автомобильное хозяйство,
190702 – Организация и безопасность движения,
190603 – Сервис транспортных и технологических машин и оборудования (автомобильный транспорт)
Воронеж 2010
2
УДК 512
Сапронов, И. В. Математика. Линейная алгебра [Текст] : метод. указания и индивидуальные задания для студентов 1 курса специальностей 190601 – Автомобили и автомобильное хозяйство, 190702 – Организация и безопасность движения, 190603 – Сервис транспортных и технологических машин и оборудования (автомобильный транспорт) / И. В. Сапронов, В. В. Зенина, А. В. Макарова ; Фед. агентство по образованию, ГОУ ВПО «ВГЛТА». –
Воронеж, 2010. – 64 с.
Печатается по решению учебно-методического совета ГОУ ВПО «ВГЛТА» (протокол № 8 от 11 июня 2009 г.)
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры алгебры и топологических методов анализа ВГУ Ю.Е. Гликлих
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
I. Матрицы и определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. Линейные операции над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Перемножение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4. Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II. Системы линейных алгебраических уравнений . . . . . . . . . . . . . 23 1. Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2. Правило Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений с
помощью обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4. Общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5. Структура общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6. Собственные векторы и собственные значения матрицы . . . . . 36 III. Варианты индивидуальных заданий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Методические указания содержат необходимый теоретический материал и решения практических примеров, которые помогут студентам выполнить индивидуальные задания по разделам: матрицы и определители, системы линейных алгебраических уравнений.
Материалы данной методической разработки по содержанию, форме изложения и объему соответствуют задачам дисциплины и требованиям стандарта соответствующей специальности.
4
I. Матрицы и определители
Определение. Матрицей порядка m ×n называется прямоугольная таблица чисел вида
a |
a |
... |
a |
|
11 |
12 |
|
1n |
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
A = |
... |
... |
... |
. |
... |
|
|||
|
am2 |
... |
|
|
am1 |
amn |
Обозначения: A – матрица, aij – элемент матрицы, i – номер строки, в которой стоит данный элемент, j – номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.
Определение. Матрица называется квадратной, если m = n . Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.
Определение. Матрицы одинаковой размерности называются равными, если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах.
Пример 1. Если матрица |
|
−1 |
3 |
|
−1 |
3 |
|
, то A = B . |
|
A = |
|
|
|
и матрица B = |
|
|
|
||
|
|
5 |
4 |
|
|
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны
0.
Пример 2. |
0 |
0 |
0 |
|
– нулевая матрица. |
|
A = |
|
|
|
|
||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Определение. Элементы aii в матрице A называются диагональными и
образуют главную диагональ.
Определение. Квадратная матрица называется единичной (обозначается E ), если элементы, стоящие на ее главной диагонали, равны 1, а остальные равны 0.
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
Пример 3. |
|
0 |
1 |
0 |
|
– единичная матрица. |
E = |
|
|||||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1. Линейные операции над матрицами
Определение. Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.
Пример 4. Для матрицы |
3 |
5 |
7 |
найдем произведение 3 A . Из |
||
A = |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
определения получаем |
3 3 |
3 5 3 |
7 |
|
9 15 21 |
|
||
3 A = |
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
(−1) 3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 2 3 |
0 |
|
6 −3 0 |
|
|||
Определение. Суммой матриц A и B одинаковой размерности m ×n |
|
|||||||
называется матрица C той же размерности, каждый элемент которой |
|
|||||||
равен сумме элементов матриц A и B , стоящих на тех же местах: |
|
|||||||
cij = aij +bij , i =1,..., m , j =1,..., n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −3 1 1 |
|
|
−1 4 0 −1 |
||||
Пример 5. Найти сумму матриц A = |
|
|
|
и B = |
|
. |
||
|
|
−2 8 |
|
|
2 −2 5 7 |
|
||
|
0 4 |
|
|
|
Решение.
Вычислим элементы матрицы C = A + B , складывая элементы исходных матриц, стоящие на одинаковых местах:
2 +(−1) −3 + 4 |
|
1 +0 1 +(−1) |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
||||||
C = A + B = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|
0 |
+ 2 4 +(−2) |
|
−2 + |
5 8 +7 |
|
|
2 |
2 |
3 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 6. Найти матрицу 5A −2B , если |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 −3 1 |
, |
|
4 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
B = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
−3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 0 −2 |
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
6
Решение.
5 2 |
5 (−3) |
5 1 |
= |
10 |
−15 |
|
|
|
5 |
, |
|
|
||||
5A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(−1) |
5 0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
−10 |
|
|
|
|
|
5 |
5 (−2) |
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 4 |
2 3 |
2 2 |
8 6 4 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
2B = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(−3) 2 1 2 (−4) |
|
|
|
−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
−6 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
10 −8 |
−15 −6 |
|
5 −4 |
= |
2 |
− |
21 1 |
||||||||
5A −2B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
−(−6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−2 −2 |
|
|
|
−5 |
0 −2 −10 −(−8) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
−21 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, 5A −2B = |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
−2 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Перемножение матриц |
|
|
|
|
|
|||
Определение. Произведением матрицы A размерности |
m × p |
и |
||||||
матрицы B размерности p ×n называется матрица C |
размерности m ×n , |
|||||||
каждый элемент которой cij |
определяется формулой: cij = ∑p |
aikbkj , |
i =1,..., m , |
|||||
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
j =1,...,n . Таким образом, |
элемент |
cij |
представляет собой |
сумму |
||||
произведений элементов i –й cтроки |
матрицы A на |
соответствующие |
||||||
элементы j –го столбца матрицы B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е. |
AB ≠ BA . Действи- |
|||||||
тельно, если существует произведение |
AB , то BA |
может |
вообще |
не |
||||
существовать из-за несовпадения размерностей. Если существуют и |
AB , |
|||||||
и BA , то они могут иметь разные размерности (если m ≠ n ). |
|
|
|
|
||||
Для квадратных матриц |
одного |
порядка произведения |
AB и |
BA |
существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны.
Пример 7. Выяснить, можно ли умножить друг на друга матрицы
0 |
3 |
|
|
5 |
6 |
|
|
|
−2 |
|
и |
||||
A = 4 |
|
B = |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
7 |
8 |
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Если произведение существует, вычислить его.
7
Решение.
Сравним размерности матриц A и B : A [3×2], B [2×2]. Следовательно,
n = l, |
m ≠ k , поэтому произведение AB [3×2] существует, а произведение |
|||||||||||||||
BA – нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем элементы AB : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 5 +3 7 |
0 6 +3 8 |
0 + 21 0 + 24 21 24 |
|
|||||||||||||
|
4 5 +(−2) 7 4 6 +(−2) 8 |
|
|
20 |
−14 24 −16 |
|
|
6 |
8 |
|
||||||
AB = |
|
= |
|
= |
. |
|||||||||||
|
1 5 +(−1) 7 1 6 +(−1) |
8 |
|
|
5 |
−7 |
|
6 −8 |
|
|
−2 |
−2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
21 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
6 |
8 |
|
, BA |
не существует. |
|
|
||||||||
AB = |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 8. Найти AB и BA , если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
2 −2 1 0 |
|
, B = |
|
−1 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
−1 1 |
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
−3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
Проверим возможность перемножения матриц, определив их размерность.
A [2×4], B [4×2]. Следовательно, n = l = 4, m = k = 2, поэтому матрицы AB и BA существуют, причем AB [2×2], BA [4×4].
Для вычисления элементов матрицы C = AB элементы строк матрицы A умножаются на соответствующие элементы столбцов матрицы B :
|
2 |
3 +(−2) (−1) +1 |
1 +0 2 |
2 |
2 |
+(−2) 0 |
+1 1 +0 |
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
C = AB = |
3 |
+1 (−1) +(−1) |
1 +1 2 − |
3 2 +1 0 +(−1) 1 +1 4 |
|
|||||||
|
−3 |
|
|
|||||||||
6 + 2 |
+1 +0 |
4 +0 +1 +0 |
|
9 |
5 |
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6 +0 −1 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−9 −1 −1 + 2 |
|
−9 |
−3 |
|
|
|
|
|
При вычислении элементов матрицы D = BA элементы строк матрицы B умножаются на элементы столбцов матрицы A :
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
3 2 + 2 (−3) |
3 (−2) + 2 1 |
3 1 + 2 (−1) |
3 0 + 2 1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = BA = |
|
−1 2 +0 (−3) −1 (−2) +0 1 −1 1 +0 (−1) −1 0 +0 1 |
= |
|||||||||
|
1 2 +1 (−3) |
1 (−2) +1 1 |
1 1 +1 (−1) |
|
1 0 +1 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 2 + 4 (−3) |
2 (−2) + 4 1 |
2 1 + 4 (−1) |
2 0 + 4 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
6 −6 |
|
−6 + 2 3 −2 0 + 2 |
0 |
−4 1 2 |
|
|
|
|||||
|
−2 +0 2 +0 −1 +0 0 +0 |
|
|
−2 2 −1 0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
2 −3 |
|
−2 +1 1 − |
1 0 +1 |
|
= |
−1 |
−1 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 −12 |
|
−4 + 4 2 − |
4 0 + 4 |
|
|
−8 0 −2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
а) Найти произведение матриц |
AB , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
2 |
0 |
−1 |
|
5 |
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, B |
|
|
|
||||
|
|
A = |
0 4 0 −1 |
= |
1 |
|
1 |
. |
|
||||||||
|
|
|
|
−2 1 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
−2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) Найти произведения |
|
AB |
|
и |
BA , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = (4 −1 0 2), B = |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Найти значение выражения |
|
3A − |
1 BC , |
где |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−4 |
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
7 |
−7 |
|||||
|
|
1 0 |
|
|
|
0 3 2 |
|
|
|
||||||||
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|||||||
|
0 −1 |
|
, B = |
|
|
|
, C |
= |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
−1 0 −3 |
|
|
|
0 |
−3 |
|
||||||
|
|
2 |
3 |
|
|
|
5 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Определители
Определение. Определителем второго порядка называется число,
полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2–го порядка следующим образом:
= |
a11 |
a12 |
= a11a22 −a21a12 . |
|
a21 |
a22 |
|
9
При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.
Пример 8. |
|
1 |
−3 |
|
=1 8 −5 (−3) =8 +15 = 23 |
|
|
||||
|
|
5 |
8 |
|
|
Определение. Определителем третьего порядка называется число,
определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3–го порядка следующим образом:
a11 a12 a13
= a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 −a31a22a13 −a21a12a33 −a32a23a11 . a31 a32 a33
Для того чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать следующие правила:
1) Правило треугольников.
Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:
образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «–», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:
10
Пример 9. Вычислить определитель
|
|
2 |
−3 |
5 |
|
. |
|
|
|||||
= |
|
1 |
0 |
−4 |
|
|
|
|
2 |
1 |
−1 |
|
|
Решение.
Вычислим определитель 3–го порядка, используя его определение:
|
|
2 |
−3 |
5 |
|
|
|
|
|||||
= |
|
1 |
0 |
−4 |
|
= 2 0 (−1) +(−3) (−4) 2 +1 1 5 −2 0 5 −1 (−3) (−1) −1 (−4) 2 = |
|
|
2 |
1 |
−1 |
|
|
= 0 + 24 +5 −0 −3 +8 = 34
2) Правило Саррюса.
К определителю справа приписывается первый и второй столбцы и элементы, стоящие на диагоналях полученной таблицы, перемножаются, а затем эти произведения складываются, причем произведения элементов на диагоналях, идущих снизу вверх, берутся со знаком минус:
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
|||||
= |
a21 |
a22 |
a23 |
|
a21 |
a22 |
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −a31a22a13 −a32a23a11 −a33a21a12 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
|
Пример 10.
3 |
2 |
1 |
|
3 |
2 |
|
|||||
4 |
3 |
2 |
|
4 |
3 = 3 3 3 + 2 2 5 +1 4 4 −5 3 1 −4 2 3 −3 4 2 = |
5 |
4 |
3 |
|
5 |
4 |
= 27 + 20 +16 −15 −24 −24 = 0
Пример 11.
3 1 1 3 1 4 1 1 4 1 = 3 1 1 +1 1 5 +1 4 2 −5 1 1 −2 1 3 −1 4 1 = 3 +5 +8 −5 −6 −4 =1 5 2 1 5 2
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить определители второго и третьего порядка:
а) |
|
2 |
1 |
|
; |
б) |
|
1 |
−1 |
|
; |
в) |
|
1 |
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
−1 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|