методичка_математика_661

21

Для матриц большой размерности непосредственное вычисление всех миноров затруднительно. Поэтому в этом случае можно преобразовать матрицу к так называемому треугольному виду (когда элементы, стоящие ниже aii , равны 0), воспользовавшись операциями, не изменяющими ранг матрицы (эквивалентными преобразованиями). К ним относятся:

1)транспонирование;

2)умножение строки на ненулевое число;

3)перестановка строк;

4)прибавление к элементам данной строки элементов любой другой строки, умноженных на ненулевое число;

5)вычеркивание нулевой строки.

Действительно, любая из этих операций переводит нулевые миноры в нулевые, а ненулевые – в ненулевые. Матрица, полученная в результате, не равна исходной, но имеет тот же ранг.

Пример 21. Определить ранг матрицы

Решение.

У матрицы А существуют миноры до 4-го порядка включительно, поэтому r(A) ≤ 4. Разумеется, непосредственное вычисление всех миноров 4-го, 3-го и т.д. порядка потребовало бы слишком много времени. Поэтому, используя элементарные преобразования, приведем матрицу А к треугольному виду. Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, чтобы элемент а11 стал равным 1:

Прибавим к третьей строке первую, ко второй – удвоенную первую, к четвертой – первую, умноженную на 3. Тогда все элементы 1-го столбца, кроме а11, окажутся равными нулю:

23

II. Системы линейных алгебраических уравнений

Определение. Линейным алгебраическим уравнением называется уравнение вида

a1 x1 +a2 x2 +... +an xn =b,

где ai и b – числа, xi - неизвестные.

Таким образом, в левой части линейного уравнения стоит линейная комбинация неизвестных, а в правой – число.

Определение. Линейное уравнение называется однородным, если b = 0. В противном случае уравнение называется неоднородным.

Определение. Системой линейных алгебраических уравнений

называется система вида

где aij , bi - числа, x j - неизвестные, n – число неизвестных, m – число уравнений.

Определение. Решением системы линейных алгебраических уравнений называется набор чисел x01 , x02 ,..., x0n , которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

Определение. Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Определение. Совместная систем линейных алгебраических уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

24

1. Метод Гаусса

называются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы (3.1).

Если ранг матрицы А равен рангу матрицы А1, то система совместна.

Исследование на совместность и решение системы производят обычно одновременно с помощью метода Гаусса. Напомним, что элементы аii в матрице А называются диагональными. Метод Гаусса заключается в элементарных преобразованиях строк матрицы А1 так, чтобы элементы преобразованной матрицы, стоящее ниже диагональных элементов, были нулевыми. При этом необходимо следить за диагональными элементами: они не должны обращаться в нуль. Если же при элементарных преобразованиях строк какой-либо диагональный элемент обратится в нуль (например, аii = 0), то поступать необходимо следующим образом: а) если в этом же столбце (где диагональный элемент оказался равен нулю) имеется ниже диагонального элемента ненулевой элемент, то соответствующую строку меняют местом с i-й строкой и продолжают преобразования; б) если же ниже нулевого диагонального элемента все элементы нулевые, то мы должны перейти к построению ступенчато-диагональной матрицы. Для этого сдвигаемся на один столбец вправо и считаем, что и диагональ матрицы тоже сдвинулась вправо и далее поступаем как описано выше. После всех преобразований матрица системы должна принять так называемый диагонально ступенчатый вид:

25

Ступенек в преобразованной матрице может быть несколько, причем разной длины. Элементы, которые будут стоять в углах таких ступенек, назовем ступенчато-диагональными (в данном примере это: а11, а22, а34, а45, а56, ...).

Решение системы линейных алгебраических уравнений

После выяснения совместности системы строят ее общее решение. Для этого вновь полученную после элементарных преобразований матрицу записывают в виде системы, отбросив нулевые строки. Количество уравнений в этой системе определяет количество основных неизвестных. Все остальные неизвестные считаются свободными, им придаются произвольные значения. В качестве основных неизвестных берут неизвестные при ступенчатодиагональных элементах.

Пример 22. Решим систему

Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем ее

Выбираем в качестве основных переменные х1 и х3, как стоящие при ступенчато-диагональных элементах, переменная х2 берется свободной. Итак,

и общее решение системы

26

x1 =1 −cx2 =cx3 =0.

Пример 23. Решить систему методом Гаусса:

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать и в случае совместности решить предлагаемые ниже системы линейных алгебраических уравнений.

27

2. Правило Крамера

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных:

следовательно, система имеет единственное решение.

28

3. Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (3) и введем следующие обозначения:

виде матричного уравнения: АХ = В. (5) Пусть матрица А – невырожденная, тогда существует обратная к ней матрица A−1.

Умножим обе части равенства (5) слева на A−1. Получим

A−1 AX = A−1 B.

Но A−1 A = E, тогда EX = A−1 B , а поскольку EX = X , X = A−1 B. Итак, решением матричного уравнения (5) является произведение матрицы, обратной к А, на столбец свободных членов системы (3).

29

Пример 25. Решить систему

x −3y + z =12x + y − z = 6

5x −4 y −7z = 4

с помощью обратной матрицы. Решение.

Составим матрицу системы:

то есть х = 3, у = 1, z = 1.

4. Общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений

30

Очевидно, что такая система всегда совместна, поскольку имеет нулевое решение x1 = x2 =... = xn = 0, называемое тривиальным.

Матрицей системы (6) называется матрица вида

Пусть ранг матрицы системы r < n. Неизвестныеx1 , x2 ,..., xr , коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы системы,

называются базисными неизвестными, а остальные ( xr+1 ,..., xn ) –

свободными неизвестными.

Тогда число линейно независимых решений системы (6) равно n – r. При этом любые n – r линейно независимых решений системы (6) называются ее фундаментальной системой решений, а любое решение однородной линейной системы (6) является линейной комбинацией фундаментальной системы ее решений, то есть

X = C1 X1 +C2 X 2 +... +Cn−r X n−r , где X1 , X 2 ,..., X n−r - фундаментальная система решений.

Пример 26. Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных алгебраических уравнений

Решение. Найдем r(A):