методичка_математика_661

Перед тем, как перечислить основные свойства определителей, приведем определение понятия транспонирования матрицы.

Определение. Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате получается матрица AT , называемая транспонированной по отношению к матрице A , элементы которой связаны с элементами A соотношением aijT = a ji .

Основные свойства определителей

1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

2. Общий множитель в строке или столбце можно вынести за знак определителя, т.е.

3. Определитель, имеющий нулевую строку или нулевой столбец, равен нулю:

a11 a12 a13

0 0 0 = 0

a31 a32 a33

4. Определитель, имеющий две равные строки или два равных столбца, равен нулю:

a11 a12 a13

a11 a12 a13 = 0 a31 a32 a33

12

5. Определитель, две строки или два столбца которого пропорциональны, равен нулю:

6. При перестановке двух строк или двух столбцов определителя он умножается на –1:

8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число:

Разложение определителя по строке

Определение. Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.

Обозначение: aij – выбранный элемент определителя, Mij – его минор.

13

Определение. Алгебраическим дополнением Aij элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i + j есть число четное, или число, противоположное минору, если i + j нечетно,

т.е. Aij = (−1)i + j Mij .

При этом справедливо следующее утверждение: определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.

Таким образом, для вычисления определителя достаточно найти алгебраические дополнения к элементам какой-либо строки или столбца и вычислить сумму их произведений на соответствующие элементы определителя.

Пример 13. Вычислим определитель из примера 9 с помощью разложения по строке. Для удобства вычисления выберем 2–ю строку, содержащую нулевой элемент ( a22 = 0 ), поскольку при этом нет необходимости находить A22 , так как произведение a22 A22 = 0 . Итак,

(напомним, что определитель второго порядка, входящий в алгебраическое дополнение Aij , получается вычеркиванием из исходного определителя i –й строки и j –го столбца).

Тогда

14

Определители более высоких порядков

Определение. Определитель n –го порядка

... ... ... ...

an1 an2 ... ann

есть сумма n! членов (−1)r a1k1 a2k2 ...ankn , каждый из которых соответствует одному из n! упорядоченных множеств k1, k2 ,..., kn , полученных r попарными перестановками элементов из множества 1,2,...,n .

Свойства определителей 3–о порядка справедливы и для определителей n –го порядка.

На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и в конечном счете свести задачу к нахождению определителей 3–го порядка.

Пример 14. Вычислить определитель 4–го порядка разложением по

15

Замечание. Для вычисления определителей специального треугольного вида применимо следующее правило:

Свойства определителей позволяют любой определитель свести к треугольному виду и вычислить его по указанному правилу.

3 5 7 2

иметь единицу на первом месте в первой строке) =

1 2 3 4

(–3), к третьей строке прибавляем первую, домноженную на 2, к четвертой строке прибавляем первую, домноженную на (–1)) =

1 2 3 4

1 2 3 4

домноженную на (–2), к третьей строке прибавляем первую, домноженную на (–3), к четвертой строке прибавляем первую, домноженную на (–8))

1 2 3 4

Пример 17.

5 10 12 14

четвертой строке прибавляем третью, домноженную на (–1), для уменьшения чисел в первом столбце)

5 10 12 14

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить определители:

Следовательно, обратная матрица для матрицы A существует. Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы A :

Следующие преобразования строк матрицы называются

элементарными:

а) умножение любой строки на число, отличное от нуля; б) прибавление к строке другой строки, домноженной на любое число; в) перестановка строк; г) отбрасывание нулевой строки.

Для нахождения обратной матрицы A−1 можно применить следующее правило: а) выписывается матрица

19

б) с помощью элементарных преобразований над строками матрицы (1) превращают ее левую половину в единичную матрицу. Тогда ее правая половина превращается в обратную к ней матрицу A−1 .