Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежская государственная лесотехническая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методичка_математика_661

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.04.2015

Размер:

584.33 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

												31
	2		−1		3	4	−1	2		−1	3	4	−1		2	−1	3	4	−1
		1	5 −1						1	−6	4	5	0		1	−6	4	5	0
A =		1	5 −1			−1 −1		~	1	−6	4	5	0	~	1	−6	4	5	0	~
		1	−6		4	5	0		1	−6	4	5	0		0	0 0		0	0
		1	−6		4	5	0		1	−6	4	5	0		0	0 0		0	0
	2		−1	3 4		−1
~	1		−6	4	5	0	.
	1		−6	4	5	0

Выберем в качестве базисного минора	4	−1	= 5 ≠ 0 .
Выберем в качестве базисного минора	4	−1	= 5 ≠ 0 .
	5	0

Значит, r(A) = 2. Пусть х4, х5 – базисные неизвестные, х1, х2, х3 – свободные неизвестные. Запишем для них новую систему:

				4x4 − x5 = −2x1 + x2 −3x3						,
						5x4 = −x1 +6x2 − 4x3				,
	=	− x			+	6x		−4x
x4	=	1				5	2		3
откуда			6x			5		− x .
откуда	=		6x		+19x			− x .
x5	=		1			5		2 3

Фундаментальная система решений состоит из трех столбцов. Рассмотрим три набора значений свободных неизвестных: 1) х1 = 1, х2 = х3 = 0.

Тогда х4 = -0,2, х5 = 1,2, и решение можно записать в виде столбца

	1
	0
	0
X1 =	0
X1 =	0	.
	−0,2
	1,2
	1,2

2) х1 = 0, х2 = 1, х3 = 0.

При этом х4 = 1,2, х5 = 3,8, и следующее решение системы имеет вид

01 X 2 = 0 .

1,2

3,8

3) х1 = х2 = 0, х3 = 1. Отсюда х4 = -0,8, х5 = -0,2, и последний столбец

... ...

	0
	0
	0
X 3 =	1
X 3 =	1	.
	−0,8
	−0,2
	−0,2

Фундаментальная система решений, построенная при таком выборе свободных неизвестных, называется нормальной. Поскольку столбцы

	1		0		0
	0		1		0
свободных неизвестных	0	,	1	,	0	линейно независимы, это
	0		0		1
	0		0		1

гарантирует линейную независимость решений Х1, Х2, Х3.

Итак, в качестве фундаментальной системы решений можно выбрать

1			0		0
0			1		0
0			1		0
0	,		0	,	1
0	,		0	,	1	.
−0,2		1,2			−0,8
1,2			3,8		−0,2
1,2			3,8		−0,2

При этом любое решение данной системы имеет вид: Х = с1Х1 + с2Х2 + с3Х3, где с1, с2, с3 – произвольные постоянные. Эта формула задает общее решение системы.

5. Структура общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений (1). Такая система будет совместной, если ранг матрицы системы (7) равен рангу расширенной матрицы, то есть матрицы системы, к которой добавлен столбец свободных членов:

a11

A1 = a21

am1

a		...	a		b
12				1n	1
a22		...	a2n		b2
		... ...			...	.
		... ...			...
a	m2	...	a	mn	b
	m2			mn	m

Ее общее решение можно получить, выражая базисные неизвестные через свободные, то есть решая систему относительно базисных неизвестных (такая система всегда определена, что следует из правила Крамера).

Пример 27. Найти общее решение и одно из частных решений системы линейных алгебраических уравнений

			3x			− x		2	+ 2x						3		− x		4		+5x		5		= 3
					1			2							3				4				5
				2x1 + x2 − x3 + 3x4 − x5 = −2
			x		− 2x		2		+ 3x				3			− 4x				4	+ 6x			5	= 5.
				1			2						3							4				5
				8x		− x		2	+ 3x					3		+ x			4		+ 9x		5		= 4
					1			2						3					4				5
Решение.
Найдем r(A) и r(A1):
	3		−1 2			−1			5			3									1		−2 3				−4	6	5
	3		−1 2			−1			5			3									1		−2 3				−4	6	5
		2 1 −1 3							−1			− 2										3		−1 2			−1	5	3
A1		2 1 −1 3							−1			− 2						~				3		−1 2			−1	5	3			~
A1	=	1 − 2 3				− 4			6			5						~				2 1 −1 3						−1	−2			~
		1 − 2 3				− 4			6			5										2 1 −1 3						−1	−2
		8	−1 1			1			9			4												−1 1			1	9	4
		8	−1 1			1			9			4									8			−1 1			1	9	4
1		−2	3		−4				6		5										1			−2 3			−4	6		5
1		−2	3		−4				6		5										1			−2 3			−4	6		5
	0 5		−7 11 −13								−12											0 5 −7 11						−13		−12
	0 5		−7 11 −13								−12											0 5 −7 11						−13		−12
~	0 5		−7 11 −13								−12							~				0 0				0	0	0			0		~
	0 5		−7 11 −13								−12											0 0				0	0	0			0
	0 15		−21 33 −39								−36											0 0				0	0	0			0
	0 15		−21 33 −39								−36											0 0				0	0	0			0
1		− 2	3		− 4				6	5
1		− 2	3		− 4				6	5
~																	.
0 5			−7 11 −13							−12
0 5			−7 11 −13							−12

Итак, r = r(A) = r(A1) = 2, а число неизвестных п = 5. Следовательно, r < n, и система имеет бесконечно много решений (совместна, но не определена).

Число базисных неизвестных равно r, то есть двум. Выберем в качестве базисных неизвестных х1 и х2, коэффициенты при которых входят в

1 −2

базисный минор преобразованной матрицы А: 0 5 .

Соответственно х3, х4, х5 – свободные неизвестные.

Запишем систему, равносильную исходной, коэффициентами в которой являются элементы полученной матрицы:

x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 6x5 = 5

5x2 −7x3 +11x4 −13x5 = −12

и выразим базисные неизвестные через свободные:

	x		= −			x3 +2x4 +4x5 −1

	1						−11x +513x −12 .
		=		7x
x2					3		4	5	5

Получено общее решение системы. Одно из частных решений можно найти, положив все свободные неизвестные равными нулю: х3 = х4 = х5 = 0. Тогда

x = −1		, x	2	= −12 .
1	5			5

= −

x3 +2x4 +4x5 −1

Таким образом, общее решение –

−11x +5

13x −12 ;

частное решение –

= −

, x2 = −

х3 = х4 = х5 = 0.

Другая возможность получить общее решение неоднородной системы заключается в предварительном нахождении общего решения соответствующей однородной системы. При этом искомое общее решение представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы (6) и частного решения системы (3).

Пример 28.

Найти общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

	x	+ x		2	+ x			3	+ x		4	+ x	5	=	2
	1
2x1 − x2 + 3x3 − 4x4 +5x5 = 3
	3x		+	4x		3	−		3x	4	+ 6x		5	=	5
	1

с помощью фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы.

Решение.

Убедимся в том, что система совместна:


		1	1	1	1 1			2		1 1 1 1 1				2		1	1	1	1	1	2
		1	1	1	1 1			2		1 1 1 1 1				2		1	1	1	1	1	2
A1	=	2	−1 3		− 4 5			3			0	4	−3 6	5		3	0	4	−3 6		5
A1	=	2	−1 3		− 4 5			3	~ 3		0	4	−3 6	5	~	3	0	4	−3 6		5	~
		3	0	4	−3 6			5		3	0	4	−3 6	5		0	0	0	0	0	0
		3	0	4	−3 6			5		3	0	4	−3 6	5		0	0	0	0	0	0
	1	1	1	1	1	2


~		0 4		−3 6		5	.
3		0 4		−3 6		5
3

Итак, r(A) = r(A1) = 2 – система совместна.

Составим по преобразованной матрице однородную систему:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5					= 0
	3x1	+ 4 x3	− 3x4	+ 6 x5	= 0

и найдем для нее фундаментальную систему решений:

x1 + x2 = −x3 − x4 − x53x1 = −4x3 +3x4 −6x5 ,

		−4x3 +3x4 −6x5
x1 =			3	.

			x3 −6x4 +3x5
	x2	=
			3

Фундаментальная система решений может быть выбрана так:

	−4			1			−2
	1			−2			1
	1			−2			1
X1 =	3	,	X 2 =	0	,	X 3 =	0
X1 =	3	,	X 2 =	0	,	X 3 =	0	.
	0			1			0
	0			0			1
	0			0			1

Теперь найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 23x1 +4x3 −3x4 +6x5 =5.

Положим х3 = х4 = х5 = 0, тогда	x1	=	5	,	x2	=	1	. Следовательно,
			3				3

531

X частн = 03 , и общее решение системы имеет вид:

	−4		1		−2		5
	−4		1		−2		3
	1		−2		1		3
	1		−2		1		1
	3		0		0	+	3	, где с1, с2, с3	– произвольные
X = с1	3	+с2	0	+с3	0		0	, где с1, с2, с3	– произвольные
	0		1		0		0
	0		0		1		0
	0		0		1		0
							0

постоянные.

6. Собственные векторы и собственные значения матрицы

Вектор-столбец

x1 X = #x2 ≠ 0

называется собственным вектором квадратной матрицы A n −го порядка, соответствующим собственному значению λ, если он удовлетворяет матричному уравнению

AX = λX , или (A − λE)X = 0.

Здесь E - единичная матрица n - го порядка, а 0 – нулевой вектор-столбец. При условии, что вектор X ≠ 0 , получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений λ:

det(A − λE)= 0.

Координаты собственного вектора X i , соответствующего собственному значению λi , являются решением системы уравнений

− λ

+ ... +

= 0,

a21 x1 +

(a22 − λi )x2

+ ... +

a2n xn = 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 x1

an2 x2

+ ... +( ann − λi )xn = 0.

Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя.

Пример 29. Определить собственные значения и собственные векторы

матрицы	1	6
матрицы	A =		.
		2
	1	2

Решение. Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид:

1−λ

= 0,

или

λ2 −3λ − 4 = 0

2 −λ

откуда следует, что матрица

A имеет

два

собственных

значения λ1 = 4 и

λ2 = −1.

Собственный вектор

X1 ,

соответствующий

λ1 = 4, определяется из

системы уравнений вида

(1 − 4)x

= 0

или

−3x

+ 6x

= 0

x1 + (2 − 4)x2 = 0

x1 − 2x2 = 0,

которая сводится к одному уравнению

x1 = 2x2 .

Полагая x2 =t, получаем

решение в виде

x1 = 2t,

x2 =t. Следовательно, первый собственный вектор

есть X

Второй собственный вектор

X 2 ,

соответствующий

собственному

значению λ2 = −1, определяется из системы уравнений вида:

(1 +1)x1 +

6x2 = 0

x1 + (2 +1)x2 = 0.

Эта система уравнений также сводится к одному

уравнению

x1 + 3x2 = 0;

полагая

x2 =t,

запишем ее решение в виде

x1 = −3t, x2 =t. Следовательно,

второй собственный вектор есть X

−3

Таким	образом,				матрица A имеет два			собственных	значения λ1 = 4,
λ2 = −1 и два		собственных					вектора, равных	(с точностью	до постоянного
множителя)	X1		2		X 2	−3
множителя)	X1	=		,	X 2	=	.
			1
			1			1

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ Вариант № 1


						8	1	9		0
1.	Вычислить определитель					6	−1	4		1	.
1.	Вычислить определитель					0	1	0		1	.
						1	−1	2		−2
			3	0	4				−1		1	2
2.	Для матриц		−2	2	−3		и B =			0	1	−2	вычислить
2.	Для матриц	A =	−2	2	−3		и B =			0	1	−2	вычислить
			1	1	2					5	3	1
			1	1	2					5	3	1

a)2A +3B

b)A B

c)A2 − B A +3A

		1	−1	3
3.		3	−5	1
	Вычислить обратную матрицу для матрицы				.
		4	−7	1

	2	7	3	1
	1	3	5	−2
	1	3	5	−2
4. Найти ранг матрицы	1	5	−9	8	.
	1	5	−9	8
	5	18	4	5

5. Исследовать систему на совместность и решить методом Гаусса и

− x −2 y +3z = 4

+3x

+ x

Крамера а)

б)

3x1

−4x2 +5x3 +6x4 = 6

3x −4 y −2z = 5

+8x

−3x

−7x

−2x −3y + z = 2

−2x

−4x

+3x

= 2

6. Найти фундаментальную систему решений и общее решение

	5x +2x					2	+2x +12x				4	−43x = 0
		1				2		3			4	5
			x1 − x2 + x3 −4x4 −4x5 = 0
системы однородных уравнений	3x		+3x		2		−2x	3	+30x		4	−22x = 0.
		1			2			3			4	5
		6x		+ x	2		+ x	+20x		4	−39x = 0
			1		2		3			4		5

7. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы

2		−1	0		−3		5
	0	2 0		б)
а)
						0
	−1	−1	1				11

							40
			Вариант № 2
					1	2	3	4
					1	2	3	4
1.	Вычислить определитель				2	2	3	4	.
1.	Вычислить определитель				3	3	3	4	.
					4	4	4	4
			1 0 1					−7 1 −3
2.	Для матриц		−2 −1	2		и		5 1 2		вычислить
2.	Для матриц	A =	−2 −1	2		и	B =	5 1 2		вычислить
			1 −1 2					0 1 4
			1 −1 2					0 1 4

a)3A + 2B

b)A B

c)A2 − B A +3A

							8	5	−46
3.							2	1	−12
3.	Вычислить обратную матрицу для матрицы						2	1	−12	.
							3	2	25
							3	2	25
		2	1	4	5
4.		1	0	1	2
4.	Найти ранг матрицы	1	0	1	2	.
		1	2	4	0
		1	2	4	0

5.	Исследовать систему на совместность и решить методом Гаусса и
					x −4y −2z =1							3x			+ 4x					−5x			−3x			= −1
					x −4y −2z =1									1				2			3			4
														5x1 −2x2 + x3 −7x4 =1
	Крамера а)				3x + y +5z =1					б) −2x						+	3x		2		−4x			+ 2x	4		= −1
						+3z = 2								1					2				3		4
					−2x +3y	+3z = 2							2x			−6x					+3x			−7x			= 2
														1				2				3		4
6.	Найти фундаментальную систему решений и общее решение
								−3x +2x			2	+2x +5x						4		= 0
									1		2			3				4
	системы однородных уравнений							−4x1 − x2 − x3 +3x4 = 0
	системы однородных уравнений							x	+5x		+ x		−12x					= 0 .
								1		2		3					4
							2x		+2x	2	+7x		3	+	20x			4		= 0
								1		2			3					4
7.	Найти собственные векторы и собственные значения матрицы
		1	- 2	0	2	9
		0 1 0			2	9
	а)	0 1 0			б)

		0	0	1	5	8
		0	0	1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.03.2016978.3 Кб65методичка 130.pdf
#
11.04.2015706.05 Кб28методичка к курсовой экономика.doc
#
11.04.2015757.25 Кб21Методичка ФМ практика ПМ очное.doc
#
11.04.2015562.18 Кб21Методичка ФМкурсяк ПМ очное.doc
#
11.04.20152.68 Mб106Методичка_ AutoCAD.pdf
#
11.04.2015584.33 Кб21методичка_математика_661.pdf
#
15.03.2016161.47 Кб38Методы исследования.docx
#
11.04.20151.31 Mб76Метрология.docx
#
11.04.201543.55 Кб10Министерство образования и науки РФ.docx
#
15.03.2016130.56 Кб49мировая автомобилизация.doc
#
11.04.2015176.32 Кб15мировые рынки.docx