База нормативной документации: www.complexdoc.ru
фактического очертания поперечных профилей земляного полотна и с учетом различных стоимостных показателей возведения земляного полотна на различных участках проектируемой автомобильной дороги. Для этого в программе «Пола» использован эффективный эвристический метод коррекции проектной линии продольного профиля.
После определения предварительного положения проектной линии вычисляют рабочие отметки и соответствующие им стоимости каждого условного поперечника на единице длины трассы. Затем в зависимости от численного значения и знака рабочей отметки, параметров истинного поперечного профиля и фактической стоимости 1 м3 грунта вычисляют скорректированную рабочую отметку при условии, что стоимость единицы длины истинного поперечника должна равняться стоимости ранее найденного условного поперечника. Поскольку при этом могут быть нарушены некоторые ограничения, то в результате новой корректировки отыскивают линию, отвечающую условиям (29.3) - (29.6) и минимально отклоняющуюся от скорректированной из условия (29.2).
По полученному профилю производят распределение земляных масс, определяют действительную стоимость разработки грунта на различных участках трассы и получают уточненное положение проектной линии при повторном проектировании по программе «Пола».
29.4. Методы «свободной геометрии»
Действующие нормативные документы допускают, проектирование продольного профиля в классе ломаных линий (см. разд. 29.3). Проектная линия в классе ломаных представляет собой дискретный аналог гибкой кривой переменного радиуса. Ограничения по кривизне в этом случае косвенно обеспечиваются ограничениями на алгебраическую разность уклонов двух смежных отрезков прямых. Необходимость проектирования проектной линии в классе ломаных возникает чаще всего при ремонте и реконструкции автомобильных дорог, когда математическая модель проектной линии в виде последовательности прямых и дуг окружностей (квадратных парабол) оказывается недостаточно гибкой для получения приемлемого проектного решения. Особенно очевидным это становится при проектировании микропрофилирования ремонтируемых покрытий.
При автоматизированном проектировании описание проектной линии в классе ломаных требует определенной математической формализации. Наиболее просто и эффективно эта задача формализуется в терминах и математических построениях сплайн-функций, а ломаная линия собственно и является линейным сплайном или сплайном 1-й степени.
Сплайны 1-й степени (ломаные) достаточно просты для понимания и, в то же время, отражают основные свойства сплайн-функций. С математической точки
1262
База нормативной документации: www.complexdoc.ru
зрения, сплайн 1-й степени - это кусочно-непрерывная функция, на каждом отрезке описываемая уравнением вида:
у = аi + bix, где
(29.7)
i - номер рассматриваемого интервала между узлами интерполяции хi и xi+1.
Как следует из уравнения (29.7), на элементарном интервале вид уравнения не отличается от общепринятого выражения прямой линии. В целом, уравнение ломаной (сплайна 1-й степени) в матричной форме можно записать как:
(29.8)
Система линейных уравнений (29.8) не требует совместного решения и распадается на решения каждого уравнения в отдельности. Сплайн, решение которого связано с вычислением подсистем небольшой размерности (в данном случае - уравнений первого порядка) является локальным.
Интерполяционный сплайн 1-й степени - это ломаная, проходящая через точки (хi, уi). Для совокупности хi (I = 0, 1,..., п) в интервале [а, b] при этом должно выполняться условие хi < хi+1. Используя интерполяционный полином Лагранжа можно построить сплайн для интервала i - (i+1):
Обозначение S1(x) понимается как сплайн-функция 1-й степени. Форму записи этой функции можно преобразовать к виду:
1263
База нормативной документации: www.complexdoc.ru
Для построения алгоритма и составления процедуры вычисления линейных сплайн-функций необходимо помнить всего лишь 2п+2 числа.
На основе интерполяционных сплайнов 1-й степени можно разрабатывать автоматизированные процедуры построения оптимальной проектной линии (см. разд. 26.3) и эвристической проектной линии, получаемой в диалоговом режиме, когда в основе проектного решения лежат интуиция и опыт инженерапроектировщика. Суть проектирования здесь состоит в том, что эскизно намечают ломаную проектную линию и посредством «ручного» перемещения узлов излома этой линии находят приемлемое ее положение с позиции проектировщика.
Другую перспективу открывают сглаживающие линейные сплайны, на основе которых можно строить алгоритмы нахождения оптимального положения ломаной проектной линии.
В случае применения сплайнов 1-й степени функционал цели имеет вид:
После подстановки первой производной сплайна, совпадающей в данном случае с разделенной разностью, функционал примет вид:
где
(29.9)
hi = хi+1 - хi
Продифференцируем выражение (29.9) по переменной S(хi) и сложим два последовательных слагаемых уравнения, содержащих эту неизвестную:
1264
База нормативной документации: www.complexdoc.ru
Приравняв полученную сумму нулю и выразив неизвестное S(хi), получим рекуррентную формулу:
Здесь знак «=» представляет собой оператор присваивания. Если принять шаг интерполяции равномерным, то есть hi = const, то процесс оптимизации (пошаговых итераций) в графической интерпретации будет вполне понятен (рис. 29.3).
Быстрая сходимость итерационного процесса позволяет рекомендовать этот метод для предварительной выработки проектных решений по проектной линии продольного профиля. В этом случае радиусы кривизны и уклоны проектной линии можно контролировать в системе ограничений посредством построения первых и вторых разделенных разностей.
Рис. 29.3. Графическая интерпретация сглаживания линейного сплайна
Следует отметить, что методы «проекции градиента» и «граничных итераций», изложенные в разделах 29.2, 29.3, также реализованы посредством математической модели проектной линии в виде линейных сплайнов.
Более совершенные проектные решения по продольному профилю можно получить, если реализовывать проектную линию в виде функций (сплайнов) более высоких степеней, чем первая. Например, сплайны 3-й степени обладают свойством нелинейного изменения кривизны. Это свойство придает им высокую гибкость изменения формы, что чрезвычайно важно при выработке проектных решений в узкой полосе варьирования (в проектах ремонта и реконструкции
1265
База нормативной документации: www.complexdoc.ru
автомобильных дорог). К тому же 1-я и 2-я производные этих сплайнов непрерывны, что обеспечивает контроль за величинами радиусов кривизны вертикальных кривых и законами изменения кривизны по длине трассы и в конечном итоге высокую гладкость и плавность проектной линии.
Методы проектирования продольного профиля, основанные на применении сплайнов 3-й степени (кубических), используют для описания проектной линии как интерполяционные, так и сглаживающие сплайны.
Сглаживающие сплайны необходимы для поиска оптимального положения проектной линии в заданной полосе варьирования. А интерполяционные сплайны позволяют обеспечить процесс корректировки проектной линии в интерактивном режиме работы инженера-проектировщика при эвристическом проектировании.
Для описания проектной линии на каждом интервале в виде интерполяционного кубического сплайна применяют или естественный сплайн вида:
Zs = Zi + Bi (S - Si) + Ci (S - Si)2 + Di (S - Si)3, Si £ S £ Si+1.
или рациональный сплайн вила:
где
t = (S - Si)/hi, hi = Si+1 - Si, pi, qi - заданные числа, -1 < pi, qi < ¥.
Рациональный сплайн обладает свойствами изменения формы на любом интервале за счет варьирования величинами коэффициентов pi, qi, что дает возможность гибкого и точного приближения проектной линии к форме рельефа или существующим очертаниям реконструируемой (ремонтируемой) автомобильной дороги.
Сглаживающие кубические сплайны, применяемые для оптимизации положения проектной линии, как правило, минимизируют функционал вида:
1266