База нормативной документации: www.complexdoc.ru

координаты магистрального хода;

координаты главных и промежуточных точек;

таблицы координат для разбивки трассы от магистрального хода по методу прямоугольных координат, методу засечек и по методу полярных координат.

Одно из достоинств метода «опорных элементов» заключается в возможности непосредственного контроля за параметрами и положением всех элементов трассы.

Рис. 28.5. Правило знаков при задании и расчетах элементов трассы а - клотоид; б - круговых кривых; в - прямых

28.4. Метод «сглаживания эскизной линии трассы»

Метод «сглаживания эскизной линии трассы», разработанный в конце 60-х годов в США и развитый в Германии, заключается в задании координат последовательности точек, снимаемых с эскизного варианта трассы, с последующей аналитической аппроксимацией посредством алгебраических полиномов высоких степеней. В отличие от методов «однозначно определенной оси» в методе «сглаживания эскизной линии трассы» задают избыточное количество точек эскизной линии и в общем случае через все заданные точки не может быть проведена удовлетворительная трасса. Эти точки эскизной линии поэтому рассматривают как «приближенные», вблизи которых должна пройти трасса.

Эскизную трассу заносят в память компьютера координатами последовательности точек с шагом через 10-400 м (в зависимости от извилистости трассы), снимаемых с эскизной линии, нанесенной на крупномасштабный план или аэроснимок от руки, либо с помощью гибкой линейки - сплайна (рис. 28.6, а).

1234

База нормативной документации: www.complexdoc.ru

Рис. 28.6. Проектирование плана по методу «сглаживания эскизной линии трассы»: а - план трассы; б - диаграмма изменения кривизны; J - фактическая кривизна аппроксимирующей функции; 2 - выровненная кривизна

Начальную точку и направление всегда задают фиксированными, поскольку осуществляют отмыкание от ранее запроектированного участка трассы или от существующей автомобильной дороги. Конечную точку трассы можно либо фиксировать, либо задавать свободно. Точкам также придают различные весовые значения, предопределяющие различную степень приближения, либо обязательное прохождение через них аппроксимирующей кривой.

Аналитическую аппроксимацию эскизной трассы, заданной последовательностью точек, осуществляют с использованием алгебраических полиномов высокой степени (обычно 3-й степени), имеющих общую касательную в точках сопряжения.

Y = Ах3 + Вх2 + Сх + D, где

А, В, С, D - коэффициенты аппроксимирующих отрезков кривых, определяемых из условия приближения к эскизной линии по методу «наименьших квадратов».

Полученная аналитическая интерпретация эскизной трассы еще не дает возможности контроля за законами изменения кривизны линии, а также за значениями радиусов кривизны в различных ее точках. Чтобы такой контроль мог быть осуществлен, а также с целью представления линии сочетанием обычных элементов клотоидной трассы (прямых, круговых кривых, клотоид и отрезков клотоид) строят диаграмму кривизны (рис. 28.6, б). При этом кривизну проектной линии трассы в любой ее точке определяют:

Фактическое очертание диаграммы кривизны заменяют ломаной. Тогда прямые, совпадающие с осью абсцисс, соответствуют прямым участкам трассы, прямые,

1235

База нормативной документации: www.complexdoc.ru

параллельные оси абсцисс - круговым кривым и наклонные прямые - клотоидам или отрезкам клотоид. Таким образом, в конечном итоге трассу представляют в виде обычных элементов клотоидной трассы.

Одна из разновидностей метода «сглаживания эскизной линии трассы» - метод «аппроксимации последовательности точек» реализован в Союздорпроекте в виде пакета прикладных программ «План». Идея метода «аппроксимации последовательности точек» заключается в компьютерной обработке эскизной линии трассы с целью определения геометрических характеристик и положения элементов клотоидной трассы, отвечающей определенным требованиям, предъявляемых к ней.

Модель эскизной линии трассы в плане представляют упорядоченным множеством точек, определяемым тремя характеристиками: хi, уi, рi, (где хi и уi - координаты i-й точки в общей системе координат; рi - «вес» i-й точки). Задача определения геометрических характеристик элементов трассы и их положения, наилучшим образом приближающихся к заданной эскизной линии, решается с применением методов математического программирования. При этом в качестве целевой функции принято выражение:

где

К - критерий оптимальности;

zi - расстояние от i-й точки до трассы по нормали.

Обязательными ограничениями являются:

Dtmin £ Dt £ Dtmax;

DRmin £ DR £ DRmax;

DLmin £ DL £ DLmax;

DAmin £ DA £ DAmax; где

Dt - изменение центрального утла круговых кривых;

DR - изменение радиуса круговых кривых;

DL - изменение длин прямых;

1236

База нормативной документации: www.complexdoc.ru

DA - изменение параметров клотоид;

min, max - индексы, обозначающие нижнюю и верхнюю границы соответствующих переменных.

Пакет прикладных программ «План» Союздорпроекта, кроме того, позволяет рассчитывать координаты главных и промежуточных точек трассы, поперечников трассы, готовить таблицы для разбивки трассы от произвольного магистрального хода по методам: прямоугольных координат, полярных координат и засечек. Пакет прикладных программ «План» обеспечивает получение продольных и поперечных черных профилей земли с использованием ЦММ.

28.5. Методы «свободной геометрии». Сплайн-трассирование

В условиях автоматизированного проектирования, когда любое проектное решение требует формализованного представления информации в числовом или аналитическом виде, а оценка этих решений связана, как правило, с функциональным анализом, значимость выбора подходящих интерполирующих и аппроксимирующих функций возрастает. Наиболее подходящими функциями для этого являются сплайны как универсальный математический аппарат для описания, хранения, преобразования, анализа и представления геометрических форм элементов, в первую очередь, трасс проектируемых автомобильных дорог.

Термин «сплайн» (spline-англ.) происходит от названия чертежного инструмента - тонкой металлической или деревянной линейки, которая изгибается так, чтобы проходить через заданные точки {хi, уi = f(x)} (рис. 28.7).

Рис. 28.7. Очертание сплайна как математического аналога гибкой линейки

Теория сплайнов, получившая распространение в 60-е годы, прошла этап бурного развития. В настоящее время сплайны, наряду с классическими многочленами, признаны стандартными функциями математического анализа. Их широкое применение в промышленных технологиях связано с тем, что сплайны имеют хорошие аппроксимативные свойства и, в то же время, чрезвычайно просты и удобны для построения вычислительных алгоритмов на компьютере.

Применимость сплайнов в дорожном проектировании активно исследовалась едва ли не с самого зарождения теории сплайнов (В.А. Федотов, В.Ю. Голубин, В. Кюн,

1237

База нормативной документации: www.complexdoc.ru

В. Фулчик и др.). Ряд программных разработок для автоматизированного трассирования автомобильных дорог в плане и продольном профиле на основе сплайнов нашли применение в проектной практике. Заметим, что сплайн-трассы никоим образом не связаны с тангенциальным ходом и их разбивка на местности может осуществляться от произвольных базисов (рис. 28.8).

Рис. 28.8. Возможные схемы разбивки сплайн-трасс

Из всего многообразия сплайнов в данной работе рассматриваются, в первую очередь, алгебраические сплайны 1-й и 3-й степеней - интерполяционные и сглаживающие. Выбор алгебраических сплайнов обусловлен тем, что они наиболее экономичны с вычислительной точки зрения и обладают достаточными свойствами аппроксимации и гладкости.

Сплайны 1-й степени (линейные) служат, во-первых, хорошей и доступной иллюстрацией к пониманию процессов построения сплайновых алгоритмов, а, вовторых, достаточны для описания геометрических элементов дорог, представляемых в виде ломаных линий (магистральные и тангенциальные ходы, продольные и поперечные профили земли и т.д.).

Построению гладких кривых служат сплайны 3-й степени (кубические), которые вместе со своими первой и второй производными несут проектировщику необходимую количественную и качественную информацию о проектируемой трассе.

1238

База нормативной документации: www.complexdoc.ru

Сплайны можно определить двумя способами: исходя из взаимного согласования простых функций (многочленов невысокой степени) и из решения задачи минимизации.

К сплайнам, определяемым по первому способу, можно отнести интерполяционные сплайны, которые необходимы для аналитического представления дискретно заданной информации.

Сглаживающие сплайны определяют чаще на основе второго способа. Именно сглаживающие сплайны находят самое широкое применение для оптимизации тех проектных решений, которые на начальной стадии рассмотрения носят, как правило, приближенный характер.

Кубическая интерполяционная сплайн-функция на каждом интервале между узлами интерполяции записывается уравнением вида:

S = fi + Bi(x - xi) + Ci(x - xi)2 + Di(x - xi)3, xi £ х £ xi+1.

Недостатком такого вида записи является то, что отсутствует возможность изменения формы сплайн-функции на участке между двумя жестко закрепленными интерполяционными точками. Лишь перемещением одной из точек (узлов) интерполяции можно добиться некоторого изменения формы сплайн-кривой.

Более гибкими возможностями в этом смысле обладают рациональные сплайны, непрерывные вместе со своими первой и второй производными:

где

t = (x - xi)/hi, hi = xi+1 - xi, рi, qi - заданные числа, - 1 < рi, qi < ¥.

Из уравнения рационального сплайна видно, что при рi = qi = 0, i = 0,1,..., N-1, рациональный сплайн превращается в обычный кубический сплайн. Кроме того, можно считать, что сплайн первой степени также является частным случаем кубического сплайна, поскольку при всех рi, qi ®¥, i = 0,1,...,N-1, справедливо S(x)

® fi(1 - t) + fi+1t, х Î [xi, xi+1]. Таким образом, можно ожидать, что при использовании рациональных сплайнов путем надлежащего выбора свободных

параметров рi, qi достигается высокая точность приближения на участках достаточной гладкости интерполируемой функции, а на участках с большими градиентами сплайн отвечает требованиям качественного характера - выпуклости и монотонности.

1239

База нормативной документации: www.complexdoc.ru

«Слабым» местом в обосновании интерполяционных сплайнов как универсального математического аппарата при трассировании автомобильных дорог является допущение (условие), что вершины интерполяции назначены проектировщиком верно и при вычислении значений самого сплайна корректировке не подлежат.

Проанализируем, как на практике назначают местоположение вершин. Если трассирование выполняют на основе карты или топографического плана, то проводят эскизную линию дороги, которая, по мнению проектировщика, является наиболее целесообразной при заданных условиях, «от руки» или с помощью механических приспособлений. Далее на эскизной линии фиксируют вершины интерполяции и замеряются их координаты. При этом не существует строго формализованных алгоритмов назначения местоположения вершин, есть лишь ряд практических советов. В частности, частое расположение вершин приводит к осцилляции кривизны такого сплайна ввиду неизбежной погрешности съемки координат вершин интерполяции; редкое их расположение вызывает существенные отклонения сплайн-трассы от порождающей ее эскизной линии.

Если трассирование выполняют по материалам полевых изысканий, то вершинами сплайн-интерполяции в этом случае являются съемочные точки цифровой модели местности и погрешность в установлении их координат еще более очевидна ввиду наличия ошибок случайного и систематического характера.

Хорошего приближения сплайн-трассы к эскизному варианту и, в то же время, достаточной ее гладкости (плавности) можно добиться лишь при многократной интуитивной корректировке проектировщиком вершин интерполяции.

Отсюда следует, что интерполяционные сплайны не являются математическим аппаратом оптимального трассирования, а лишь удобным и во многих задачах чрезвычайно эффективным инструментарием компьютерной обработки эскизно назначенных проектных решений. Качество таких решений существенно зависит от квалификации исполнителя.

Из вышеприведенных рассуждений вытекает, что постановка задачи трассирования на основе сплайнов должна предполагать следующее: вершины интерполяции эскизной трассы, а в случае реконструкции - исходной трассы, назначают приближенно (с допуском) и точное их местоположение вычисляют по определенным закономерностям, учитывающим ряд основополагающих целевых установок самого процесса трассирования. С использованием математической терминологии эту задачу можно отнести к задачам генерации геометрических форм по их грубым (приближенным) описаниям.

В качестве математического аппарата для решения задачи трассирования дорог рассмотрим сглаживающие сплайны, которые минимизируют функционал И. Шенберга:

1240

База нормативной документации: www.complexdoc.ru

при ограничениях, например

В записи функционала q = 1,2; S(x) - сплайн; ri - весовой коэффициент узла интерполяции; f0(xi) - функция начального приближения.

Ограничения могут быть самыми разными и в случае трассирования дорог это: ограничения по допустимому радиусу, направлению трассы в плане и уклону в продольном профиле и т.д. При этом для сплайнов третьей степени (q = 2) должны быть добавлены так называемые «краевые условия» в точках х0 = а, хn = b, обеспечивающие единственность построения сплайна. Например, это могут быть условия заданного начального и конечного направления проектируемого участка трассы S'(xа), S'(xb).

Вышеприведенный функционал хорошо моделирует задачу трассирования дорог при их реконструкции, которая состоит в том, чтобы добиться минимального отклонения проектируемой трассы от существующей, при одновременных условиях по уклону и кривизне в продольном профиле и по кривизне и скорости нарастания кривизны в плане согласно требованиям СНиП для данной категории дороги. Минимальное отклонение достигается за счет второго слагаемого функционала, а условия по кривизне - за счет первого слагаемого.

Так как в процессе проектирования разбивку трассы ведут в виде пикетов, то удобнее выражать переменные координаты X, Y вершин этой трассы при помощи одного параметра l - текущей длины трассы. В этом случае на любом интервале трасса дороги в плане описывается единственным сочетанием элементов: сплайнсплайн. Значение параметра l задает координатный вектор точки на трассе. В частности, для плана координаты точки на трассе математически описываются совокупностью параметрических сплайнов:

x= Xs(l),

y= Ys(l).

1241

База нормативной документации: www.complexdoc.ru

Вычисление сглаживающих сплайнов 1-й и 3-й степени осуществляют, как правило, методом покоординатного спуска. Аналогичные результаты могут быть получены и при реализации метода штрафных функций.

Выше, в рассуждениях о Безье-кривых и сплайнах, понималось плоское расположение опорных точек трассы и, соответственно, рассматривалось представление только плоских кривых. В общем случае, трехмерное (рис. 28.9) векторное представление точек на трассе сплайнами относительно осей X, Y и Z имеет вид:

Рис. 28.9. Пространственное (трехмерное) проектирование оптимальной трассы автомобильных дорог:

а - вращение вокруг бинормали; б - вращение вокруг касательной (t)

Если форма плоской кривой определяется функцией ее кривизны, то форма пространственной кривой однозначно определяется совокупностью двух функций: кривизны и кручения. Кривизна (r) и радиус кривизны (R = 1/r) пространственной кривой имеют тот же геометрический смысл, что и для плоской кривой, но вычисляется, естественно, по более сложной зависимости:

где

1242

База нормативной документации: www.complexdoc.ru

x', x" - первая, вторая производные х по l и т.д.

Кручение - новое геометрическое понятие для трассы автомобильной дороги как кривой в пространстве, но именно кручением кривой можно объяснить многие из явлений зрительного восприятия, которые до сих пор оценивали и объясняли на основе лишь эмпирических правил. Кручение (Т) пространственной кривой в точке N следует определять по формуле:

Геометрически кручение можно определить следующим образом: если Q - близкая к N точка кривой С, а q - угол между соприкасающимися плоскостями кривой С в точках N и Q, то при стремлении точки Q к точке N отношение угла q к расстоянию между Q и N стремится к определенному пределу, который и равен абсолютному кручению кривой С в точке N.

Для большего понимания геометрической сущности кручения приведем и ее кинематическое толкование. Представим себе, что некоторая плоскость перемешается в пространстве, причем ее фиксированная точка с единичной скоростью движется по кривой, фиксированная прямая в каждый момент времени касается кривой в этой точке, а сама плоскость все время является соприкасающейся плоскостью кривой. Тогда такое перемещение будет результатом поступательного движения и двух вращений - вращение этой плоскости вокруг бинормали (b) и ее вращение вокруг касательной (t). Угловая скорость первого вращения равна кривизне кривой, а второго - абсолютному кручению кривой в точке соприкосновения. Знак кручения связан с направлением вращения: в случае, когда вращение происходит против часовой стрелки, если смотреть из конца касательного вектора, то это плюс, а если по часовой стрелке - то минус.

Если при раздельном трассировании необходимо контролировать графики кривизны трассы раздельно в плане и продольном профиле, то при пространственном трассировании контроль должен осуществляться графиками пространственной кривизны и кручения.

Пространственное трассирование дорог можно также выполнять и на основе тангенциального хода с вписанными закруглениями в виде кривых Безье. Опорные точки характеристической ломаной Безье (тангенциального хода), в общем случае, задаются точками трехмерного пространства Рi(хi, yi, zi), i = 0,1, ...,т. Тогда пространственную кривую Безье степени m определяют уравнением:

1243

База нормативной документации: www.complexdoc.ru

где

- многочлены Бернштейна.

Матричная запись параметрических уравнений, описывающих пространственную кривую Безье:

где

0 # t # 1,

В случае, если промежуток изменения параметра произволен, а # t # b, уравнение кривой Безье имеет следующий вид:

Полученным представлением пользуются при задании единой параметризации составной кривой Безье как целого:

R = R(t), t0 # t # tc , где

1244