105. Теорема Ролля. Геометрический смысл теоремы Ролля.

если функция непрерывна на отрезке [a,b] и дифференц. на интервале (a,b) и на концах

принимает равные значения f(a) = f(b), тогда есть хоть одна точка с (с є (a,b)), что f (с) = 0

Доказ: По свойству непрерывности функция достигает на отрезке [a,b] своего наибольшего и

наименьшего значения. 1) M = m  f (x) = const  f (с) = 0  с є (a,b)

2) M  m  т.к f(a) = f(b) по свойству непрерывности функция достигает или M, или m. Тогда по

теореме Ферма: есть такая с є (a,b) f (с) = 0

Геом: теорема показывает что если выполнены все условия то на графике найдется хоть одна точка

касательная к торой параллельна оси Ох. Таких точек может быть несколько.

106. Теорема Лагранжа. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

у = f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференц. на интервале (a,b) то есть хоть одна

точка с є (a,b) что f(b) – f(а) = f (c)(b - a)

Доказ: составим вспомогательную функцию F:

F = (f(b) – f(а))(x - a) – (f(x) – f(a))(b - a) – эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Роля, значит

есть такая точка с є (a,b) где F (c) = 0

F (x) = f(b) – f(а) - f (x)(b - a)  f(b) – f(а) = f (c)(b - a)

Геом: эта теорема утверждает что если функция удовлетворяет условиям теор. то на графике есть хоть одна

точка в которой касательнаяхорде стягивающей дугу АВ.

Теорема Роля частный случай теоремы Лагранжа.

107. Теорема Коши.

если у = f(x) и y = (x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференц. на интервале (a,b) причем (x)0 для

всех х є (a,b) то есть хоть одна точка с в которой выполняется равенство:

f(b) – f(а) / (b) – (а) = f (х) /  (х)

Доказ: Отметим (b)  (а), т.к. по теор. Роля нашлась бы точка с где  (c) = 0 а это противоречит условию теоремы.

F (x) = f(x) – f(а) – (f(b) – f(а))((b) – (а))/ (b) – (а)

Она также удовлет. условиям теоремы, значит есть с є (a,b) где F  (c) = 0

F  (x) = f (x) – (f(b) – f(а) / (b) – (а))  (x)

f (x) = (f(b) – f(а) / (b) – (а))  (x)

f(b) – f(а) / (b) – (а) = f (х) /  (х)

Теорема Лагранжа частный случай теоремы Каши. Тогда (х) = х

108. Правило Лопиталя и его применение к вычислению пределов.

если f(x) и (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х_О и обращаются в 0 в этой точке.

Пусть (x)  0 в окрестности точки х_О, если существует lim _xхО f(x) / (x) то также существует и

lim _xхО f (x) /  (x) причем = lim _xхО f(x) / (x)

Доказ: Применим к f (x) и (x) теорему Каши для отрезка [x_O, x] тогда

f (x) /  (x) = f(x) - f(x_O) / (x) - (x_O), где с є (x_O, x), т.к.

f(x_O) = (x_O) = 0 то f (x) /  (x) = f(x) / (x)

xх_О и сх_О тогда lim _xхО f (x) /  (x) = lim _схО f(с) / (с)

б) lim _xхО f(x) =  и lim _xхО (x) =  тоже

lim _xхО f (x) /  (x) = lim _ххО f(х) / (х)

0⁰ 1^ ⁰ вычисляют логарифм предела

ln lim f(x)^v(x) = lim v(x) ln f(x). в конце получаем е^Z