88. Непрерывность функции на отрезке.

1) Функция называется непрерывной справа в точке a,

если lim _{x  a + 0} f(x) = f (a) и непрерывной

слева в точке a, если lim _{x  b + 0} f(x) = f (b).

2) Функция называется непрерывной на отрезке [a,b],

если она непрерывна во всех внутренних

точках отрезка и непрерывна справа на левом конце и непрерывна слева на правом конце.

89. Свойства функций, непрерывных на отрезке ( т. 1-5).

Точки разрыва и их классификация.

Свойства: 1) Если y = f (х) непрерывна на отрезке ab

, то она достигает на этом отрезке

наибольшего и наименьшего значения. ( x є [a,b],

f(x₁) > f(x) max _[a,b] f(x₁) = M)

Следствие: если функция непрерывна на отрезке ab, то она ограничена.

2) Если функция непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах

принимает значения разных знаков то существует по крайней мере

одна точка внутри отрезка в которой функция равна 0.

Там где функция равна 0, называют корнями уравнения f (х) = 0 (f(a) <0

f(b) >0 c є (a,b) f(c)=0)

3) Если функция непрерывна на отрезке [a,b] f (a) = А и f(b)= В, тогд

а для любого C заключенногомежду А и В найдется внутри такая

точка с є (a,b), что f(c) = C.

90. Производная. Определение.

Механический и геометрический смысл производной

производной у = f(x) называется отношение приращения функции в

этой точке к вызвавшемуэто приращение аргументу при

произвольном х  0.

f (x_O) = lim y / x = lim (f(x + x) – f(x)) / x x  0

Геом.: Пусть l график функции y = f (х). М_О (х_О, у_О) и точку М

(х+x, у+у) соединим их и получим секущую.

Касательной к кривой l в точке М_О – предельное положение

М_ОТ секущей М_ОМ когда точка стремится к

совмещению с точкой М_О.

уг  - секущая с + направ. Ох, а уг  - касательной.

Тогда tg  = y / x. При x  0 в силу непрерывности

 tg  = tg . lim tg  = tg  = f (x_O) k = f (x_O) = tg 

Касат: у = f(x_O) + f (x_O) (x – x_O)

Нормаль: прямая М_ОN  касательной М_ОТ.

у = f(x_O) – (1 / f (x_O))(x – x_O) – нормаль

Физич: Пусть точка движется прямолинейно и за время t

проходит путь S. Средняя скорость S / t. А мгновенная в момент t : Vмг = S (t).

так ускорение производная скорости по времени; теплоемкость – кол.

тепла по температуре и так далее. Скорость изменения функции

есть производная этой функции по х.

91. Дифференцируемость функции. Определение.

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее

приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде:

 Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A -- некоторое число, независящее

от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. limΔx→0α(Δx)=0.

Если функция дифференцируема в некоторой точке a, то она

непрерывна в этой точке.

По определению производной

Это предельное равенство означает, что выражение под знаком

предела можно представить в виде

где α(x) – бесконечно малая функция при x → a. Тогда

Следовательно, при x → a.

92. Основные правила дифференцируемости

Пусть с-постоянная,u=u(x),v=v(x)- функции,имеющие производные.

1)с`=0; 2) (uv)`=u`v`

3)(cu)`= cu` 4) (uv)`=u`v+uv`

5) (u/v)=u`v-uv`/v2

93.Производная сложной функции.

Если u =  (x) имеет производную u_х в точке х, а функция y = f(u) имеет

производную у_u в точке u, то сложная функция y = f( (x))

имеет производную у_х которая находится по формуле: у_х = у_u u_х

Производная сложной функции равна

произведению производной данной функции по промежуточному

аргументу на производную

промежуточного аргумента по конечному.

Доказ: придадим аргументу х приращение x, тогда и функция

получит приращение u, которое в

свою очередь повлечет изменение у на y.

y/х = yu/ux и т.к u=(x) непрерывная при x0 

у_х = lim _{x  0} (u/x) lim _{x  0} (y/u) = у_u u_х

Аналогично для любого числа промежуточных элементов.