94. Производная обратной функции.

Производная обратной функции:

y = f(х) с областью определения Д и значений Е. Если

обратное ей соответствие таково, что

для каждого у є Е, определяется единственное значение х є Д, то

мы получим обратную функцию. Обратная – х = f ^-1 (у)

Пусть y = f(х) имеет в точке х_О производную f (x_O) = lim _{x 0} y / х.

Чтобы найти производную

обратной функции нужно найти предел lim _{x 0} х / у = (f ^-1 (y_O))

Вследствие непрерывности функции y = f(х) при x0 у0,

тогда lim _{x 0} х / у = 1 / f  (х_O).

Производные обратных функций обратны по величине:

х  (у_O) = 1 / f  (х_O) f  (х_O)  0

у  (х_O) = 1 / f  (у_O) f  (у_O)  0

95. Производные основных элементарных функций:

sin и, соз и, tg и, ctg и, и", а", е“,

In и, logau, arcsin и , arcos и , arctg и , arcctg и, где и = и(х).

1. ,9.

2. 10.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

7. 15.

8.

96. Гиперболические функции и их дифференцирование.

Гиперболические функции: Встречаются различные комбинации показательных

функций. Их рассматривают как новые функции:

Гип. синус – Sh - (e^x – e^-x) /2

Гип. косинус - Ch – (e^x + e^-x) / 2

Гип. тангенс – th - (e^x – e^-x / 2) / (e^x + e^-x / 2)

Гип. котангенс – cth - (e^x + e^-x / 2) / (e^x – e^-x / 2)

(Sh x) = Ch x (Ch x) = - Sh x

(th x) = 1 / Ch² x (cth x) = - 1/ Sh² x

97. Дифференцирование функции, заданной неявно.

Пусть функция y f x = ( ) задана уравнением F x y ( , ) = 0 .

В этом случае говорят, что функция задана неявно .

Для нахождения производной считаем, что в уравнении

y зависит от x ,иначе

. Другими словами дифференцируем уравнение , считая

сложной функцией, зависящей от

F x y x , ( ) = 0 F x y x , ( ) = 0

y x .

98. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

. Диф. функции заданной параметрически:

Функция заданная в виде х =  (t) и y =  (t) - параметрическая.

предполагается

что х =  (t) имеет себе обратную t = x ^-1 (x).

Предположим что в некоторой области изменения параметра t функции

х =  (t) и y =  (t) имеют

производные и не обращаются в 0. Тогда у(t) может быть представлена

как сложная функция: у = у(t) и t = х ^-1 (х)

у_х = у (t) = у_t (1/х_t) = у_t / х_t

99.Дифференциал функции. Его связь с производной.

Дифференциал функции - это произведение производной  f ’( x₀ ) и

приращения аргумента  :

df = f ’( x₀ ) ·  .

100. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Если приращение delt x аргумента мало по абсолютной величине,то delt y

приблизительно равно dy

и получаем формулу приближенных вычеслений с помошью дифферинциалов

f (x_O +delt x) приблизительно равно f (x_O) + f `(x_O) delt x

101. Геометрический смысл дифференциала.

Геом. смысл: y = f (x_O) + f (x_O)(x - x_O) x - x_O = х

y – f(x_O) = dy dy = y – y_O – приращение ординаты касательной в точке М_О при

переходе из точки М_О с абсциссой х_О в точку М с абсциссой х_О + х.

102. Основные правила и формулы нахождения дифференциала (таблица дифференциалов, дифференциал постоянной, суммы, произведения, частного).

103. Инвариантность формы дифференциала первого порядка.

104. Производные и дифференци Определение.

Пусть существует такое множество X, что для .

Тогда может получиться, что

производная имеет производную в некотрой точке. Такая производная называется

второй производной или производной второго порядка. Обозначается

 или .

В общем виде . Переходя к дифференциалам, получаем:

. .

 Не следует путать обозначения: ,.

Второй дифференциал от x равен 0 только тогда, когда x - независимая переменная

или линейная функция

от независимой переменной. В этом случае любой дифференциал . 

То есть для 

алы высших порядков.