24.. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярное произведение векторов и свойства: скалярным произведением

2 векторов – произведение их

длин на косинус угла между ними.

ab = (a,b) =bacos(a,b). С помощью проекции вектора

на ось: ab = bпр_ba=aпр_ab.

Свойства: ab=ba; a(b+c)=ab+bc; (a)b=(ab); a²=a²;

a≠0 и b≠0, то ab, значит ab=0

25.Механический смысл скалярного произведения.

Физический смысл: если матер. точка проходит путь S под действием

силы F, то

работа совершаемая при этом равна: A = FS = FScos

26.Ортонормированный базис. Выражение скалярного

произведения через координатыв ортонормированном базисе.

Базис называется ортонормированным, если базисные векторы попарно

ортогональны и длина каждого из них =1

Декартова система координат с ортонормированным базисом i,j,k называется

прямоугольной системой координат, а векторы i,j,k ортами координатных осей.

AB=xi+yi+ji

27.Векторное произведение векторов и его свойства.

Свойства: axb ≠ bxa; axb = - bxa; (axb)= (a)xb=(b)xa;

коллинеарны – axb = 0; (a+b)xc = axc + bxc

Векторное произведение и свойства: векторным произведением называется такой

третий вектор c, который: 1) ac, bc; 2) длина c равна: с=absin(a,b);

3) направлен так, чтобы a b c образовывали правую тройку.

28.Механический смысл векторного произведения.

Механический смысл скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение силы F на вектор перемещения S равно

работе А этой силы при перемещении материальной точки

по вектору S: A = FS

30.Приложения векторного произведения в геометрии и механике.

1)коллинеарность условие: ax/bx=ay/by=az/bz

2)Если F приложена к точке А то вращательный момент силы под действием

которой А вращается вокруг неподвижной точки О: М=ОАxА =ОАFsin

3) линейная скорость: V = w x r.

31.. Смешанное произведение, геометрический смысл.

Свойства смешанного произведения.

Смешанное произведение и свойства: даны векторы a,b,c - a и b

перемножить векторно, а результат скалярно на с, то такое произведение называется смешанным. abc

Геометрический смысл: на векторах a b и c построим параллелепипед.

axb=d d=SпаралABCD Тогда dc = dccos = dc = S_ABCD ( H) = V_ABCD

Свойства: 1) axbc = bxca = cxab 2) abc= -axcb= -bxac= -cxba 3) условие комплонарности: abc = 0

33.Условия коллинеарности, ортогональности,

компланарности векторов.

Коллинеарность условие: ax/bx=ay/by=az/bz

Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны), если их

скалярное произведение равно нулю

a · b = 0

Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

34.Нормальное уравнение плоскости.

xcosa+ycosb+zcosy-p=0

35.Общее уравнение плоскости.

Частные случаи расположения плоскости.

Ax+By+Cz+D=0

Данное уравнение определяет систему координат Оxyz на плоскость.

Частные случаи расположения плоскости определяемое общем уравнением.

А=0 плоскость параллельна Ох

B=0 плоскость параллельна Оy

C=0 плоскость параллельна Оz

D=0 через начало координат

A=B=0 Перпендикулярно Oz (параллельно xOy)

A=C=0 Перпендикулярно Oy (параллельно xOz)

B=C=0 Перпендикулярно Ox (параллельно yOz)

A=D=0 Проходит через ось Ox

B=D=0 Проходит через ось Oy

C=D=0 Проходит через осьOz

A=B=D=0 Совпадает с плоскостью xOy

A=C=D=0 Совпадает с плоскостью xOz

B=C=D=0 Совпадает с плоскостью yOz