66. Конические поверхности.

x² / a + y² / b + z² / c = 0 – конус второго порядка

х = 0 y² / b + z² / c – начало координат – вершина конуса

х = 0 у =0 будем получать пару пересекающихся прямых

67. Функция. Основные понятия. Способы ее задания.

Функцией называется закон, по которому числу х из заданного

множества Х, поставлено в соответствие только одно число у,

пишут , при этом x называют аргументом функции, y

называют значением функции.

1. Аналитический способ.

2. Графический способ.

3. Словесный способ.

4. Табличный способ.

68. Числовая последовательность и ее предел.

числовой последовательностью можно понимать функцию заданную

на множестве натуральных чисел х₁ х₂ х₃ … х_n

х_n = f (n) n є N. в общем виде: {x_n}

Возрастающая (не убывающая) - если  n є N выполняется

неравенство а _n+1 > a _n (а _n+1  a _n ). Убывающая (не возрастающая) – если

 n є N а _n+1 < a _n (а _n+1  a _n ).

Предел: lim _{x - } x _n = a, если   > 0,  N (),  n > N ()  x _n - a < 

Если члены последовательности изображать точками на числовой прямой,

то можно дать следующую геометрическую иллюстрацию предела

числовой последовательности.

a -  < x _n < a + 

69. Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

70. Число е. Натуральные логарифмы.

e — математическая константа, основание натурального логарифма, 

трансцендентное число. Иногда число eназывают числом Эйлера или числом Непера.

Обозначается строчной латинской буквой «e».

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e — иррациональная 

константа, равная приблизительно 2,718281828. Натуральный логарифм обычно

обозначают как ln(x), log_e(x) или иногда просто log(x), если основание eподразумевается.^[1]

71. Конечный предел функции.

72. Бесконечный предел функции.

Условная запись

обозначает, что для любого E > 0 справедливо неравенство:

|f(x)| > E, если только 0 < |x - a| < δ (E) .

73. Одностронние пределы.

Число A' называется пределом слева функции f(x) в точке a:

если

|A' - f(x)| < ε при 0 < a - x < δ (ε).

Аналогично, число A" называется пределом справа функции f(x) в

точке a:

если

|A" - f(x) |< ε при 0 < x - a < δ (ε).

Для  существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы

f (a - 0) = f(a + 0).

74. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Связь между б.м. и б.б. функциями (т. 1, т. 2).

бесконечно малая функция – это функция, предел которой в

данной точке равен нулю.

Функция F(x) называется бесконечно большой (сокращенно б.б.) при x    (при x  ), если для любого положительного числа K существует число x₀,

такое, что для всех x > x₀ выполняется неравенство: |F (x)| > K.

Связь: 1) если функция f(x) является б.б. при x  a, то функция 1/f(x)

является б.м. при x  a.

2) ) если функция f(x) является б.м. при x  a, то функция 1/f(x)

является б.б. при x  a.

75. Теорема о разности между функцией и ее пределом.

Если функция  имеет предел , то

разность между функцией и значением предела есть функция, бесконечно малая при .

76. Ограниченная функция теорема об ограниченности функции.

Если функция f(x) имеет предел в точке a ,то она ограниченна

в некоторой окрестности точки a.

77. Теорема о произведении б.м. функции на ограниченную.

Произведение бесконечно малой при  функции на ограниченную в

некоторой окрестности точки а функцию есть бесконечно малая функция при 

78. Теорема о делении б.м. функции на функцию, предел которой отличен от нуля.

79. Теорема об единственности предела функции.

Теорема о существовании предела.

Функция не может иметь более одного предела.

Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой

окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки, то

либо они имеют один и тот же предел при , либо обе не имеют

предела в этой точке.

Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел. 

81. Предел суммы, произведения, частного.

Пусть заданы две функции и . Если существуют

 и  , то существуют и пределы суммы и произведения

этих функций, а при и предел частного, причем         ,     ,        .

82. Теорема о промежуточной функции.

Теорема о пределе промежуточной функции:Если

функция ƒ(х) заключена между двумя функциями φ(х) и g(х),

стремящимися к одному и тому же пределу, то

она также стремится к этому пределу.

83. Первый замечательный предел.

Первый замечательный предел: lim _x0 (sin x / x) = 1

Докозат: Отметим положительный угол х. Из А  Ох = В Хорда АС, D  Ох = С;

S_{ ОАС} < S _ОАС < S _{ ОDC}

S _ОАС = ½ Rx S_{ ОАС} = ½ ОС sin x S _{ ОDC} = ½ OC tg x

Т.к х > 0, то после сокращения на ½ и ОС и 1/sin x получим: 1< x / sin x < 1 / cos x;

cos x > sin x / x > 1

х  0, то lim _x0 cos x = 1. На основании признака существования

предела имеем: lim _x0 (sin x / x) = 1

С его помощью раскрываются неопределенности (0/0)

84. Второй замечательный предел.

Второй замечательный предел имеет вид: В случае второго замечательного предела имеем дело с

неопределенностью вида единица в степени бесконечность .

85. Сравнение б.м. функций. Эквивалентные б.м. функции.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть α=α(х) и ß=ß(х) есть б.м.ф. при х→х_о, т. е.

 и 

1. Если =А¹ 0 (АєR), то α и ß называются бесконечно

малыми одного порядка.

2. Если, =0, то α називатся бесконечно малой более высокого порядка , чем ß.

3. Если =∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.

4. Если не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.

86. Свойства эквивалентных б.м. функций ( т. 1-4).

87. Непрерывность функции в точке. Определение.

Свойства функций, непрерывных в точке (т. 1-3).

1) f(x) называется непрерывной в точке х_О, если она определена в точке х_О

и ее окрестности, существует предел функции при x  х_О и он совпадает с f(х_О).

Если   > 0,   () > 0, если  х 0<x - х_О<  f(x) – f(х_О)< .

Геометрический смысл: какую бы горизонтальную -по-лосу вдоль прямой у = f(x),

всегда найдется -полоса около х_О = х, такая что все точки графика распроложенные в

вертикальной полосе обязательно попадут во взятую горизонтальную полосу

.

2) у = f(x) называется непрерывной в точке х_О, если 1) функция определена в этой точк

е и ее окрестности; 2) существуют конечные односторонние пределы слева и справа;

3) Эти пределы равны между собой;

4) и равны значению функции в этой точке.

3) у = f(x) называется непрерывной в точке х_О, если она определена в этой

точке и ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента

соответствует бесконечно малое приращение функции. lim _x0 у=0; у=f(x+x) – f(x)

Все основные элементарные функции непрерывны в области их определения.