13..Теорема Кронекера-Капелли.
Решение произвольных линейных систем.
Теор. К-К: для совместности системы необходимо и достаточно
чтобы ранг основной М был = рангу расширенной: r(A) = r(Ã).
Решение: 1) Находим ранг основной и расширенной М, если не равны
решений нет;
2) если равен выделяем базисный минор и неизвестные;
3) данную систему заменяем ей равносильной, состоящей из
тех уравнений входящих в базисный минор;
4) если число базисных неизвестных равно числу неизвестных
системы, одно решение по Крамеру решаем;
5) если меньше, то выражаем базисные неизвестные через свободные
неизвестные получим бесчисленное множество решений.
14.Система однородных линейных уравнений.
Система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение.
Если ранг матрицы меньше числа неизвестных, то система имеет
бесчисленное множество решений.
Для того, чтобы система имела ненулевые решения, необходимо, чтобы ее
определитель был равен нулю.
15.Решение систем линейных уравнений методом последовательного
исключения неизвестных (метод Гаусса).
Сначала следует привести систему к треугольному (ступенчатому) виду, а затем
ступенчато решить.
Формула Крамера.
Подсчитать определитель матрицы А.
Затем матрицей B заменить первый столбец матрицы А,
подсчитать определитель и
разделить его на detA, так мы получим x1. То же самое проделать со
2-ым и 3-им столбцом.
16.Размерность и базис линейного пространства. Пусть система n векторов
линейно-независима, а любая система n+1 векторов – линейно-зависима, тогда
число n называют размерностью пространства. dimV=n
Система этих n линейно-независимых векторов называется базисом линейного
пространства.
Рассмотрим систему n+1 векторов.
Такое
представление называется разложение
по
базису, а числа
называют координатами вектора.
17.Вектор. Проекция вектора на ось.
Основные понятия: Это направленный отрезок
. Длина вектора - AB, нулевой – 0, единичный – е.
аb коллинеарные–лежат на одной прямой или на параллельных
а = b – если у них а=b и одинаковые направления.
18.Линейные операции над векторами.
сумма – по правилу треугольника или по правилу параллелограмма:
Если образуют замкнутый многоугольник, то сумма этих векторов = 0.
Разность – от – к умен.
Умножение вектора: умножение вектора а на число , называется
коллинеарный вектор b, длина которого равна b= a.
И сонаправлен b, если >0, и противоположен <0.
Свойства: a+b=b+a; (a+b)+c=a+(b+c); (a)=()a;
(+)a=a +a; (a+b)= a+b.
19.Линейная зависимость и независимость
системы векторов.
Определение линейной зависимости системы векторов
Система векторов A1, A2,...,An называется линейно зависимой,
если существует ненулевой набор
чисел λ1, λ2,...,λn,при котором линейная комбинация векторов
λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An равна нулевому вектору
, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ имеет ненулевое решение. Набор чисел λ1, λ2,...,λn является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ1, λ2,...,λn
отлично от нуля.
Определение линейной независимости системы векторов
Система векторов A1, A2,...,An называется линейно независимой,
если линейная комбинация
этих векторовλ1*A1+λ2*A2+...+λn*An равна нулевому вектору только при
нулевом наборе чисел λ1, λ2,...,λn, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ
имеет единственное нулевое решение.
21.Расстояние между двумя точками
. Расстояние d между точками A(x1, y1) и B(x2, y2) плоскости определяется по формуле:
23.Направление вектора в пространстве.
Вектором называется упорядоченная пара точек. Первая
точка называется началом
вектора, вторая — концом вектора. Расстояние между началом и
концом вектора называется его длиной
. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым,
его длина равна нулю.
Если длина вектора положительна, то его называют ненулевым.
Ненулевой вектор можно определить также как направленный
отрезок, т.е. отрезок, у которого одна
из ограничивающих его точек считается первой (началом вектора),
а другая — второй (концом вектора).
Направление нулевого вектора, естественно, не определено.