58. Гипербола. Определение.
Вывод канонического уравнения гиперболы.
Исследование формы гиперболы.
Гипербола: множество всех точек плоскости модуль разности
расстояний от каждой из которых до 2 данных точек этой плоскости,
есть величина постоянная меньшая чем расстояние между фокусами.
1) симметричен относительно координатных осей
2) y = 0 x = a
A1A2 – действительная В1В2 – мнимая ось
3) Основной прямоугольник со сторонами 2а и 2b
4) х возрастает и у тоже возрастает
5) асимптоты – это прямые у = (b/a)x (диагонали прямоугольника)
у2 / b2 – х2 / а2 = 1 – с действительной 2b и мнимой 2а
= с / а с > a > 1
59. Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения параболы.
Парабола: множество всех точек плоскости каждая из которых одинаково удалена от данной точки (F) и данной точки (директрисы).
1) симметрична относительно Ох т.к у2
2) т.к р > 0 кривая расположена только для х 0
3) у = 0 х = 0 - вершина параболы
4) х возрастает, у тоже возрастает
Каноническое
уравнение: 
60. Исследование общего уравнения линии второго порядка в случае отсутствия члена с произведением текущих координат.
61. Сфера. Определение.
Вывод канонического уравнения.
Сфера – х2 + у2 + z2 = R2
При пересечении с координатными плоскостями получаем
окружности
62. Цилиндрические поверхности.
Цилиндрические поверхности: если уравнение не содержит
переменной z тогда образующая цилиндра оси Оz.
(Так и для отсутствующих или х или у). В зависимости от того какое
мы имеем уравнение 2-го порядка мы будем получать или круговой или
эллиптический или гиперболический или параболический цилиндры.
х2 + у2 = R2 – круговой цилиндр
x2 / a2 + y2 / b2 = 1 - эллиптический цилиндр-
x2 / a2 - y2 / b2 = 1 - гиперболический цилиндр
у2 = 2px - параболический цилиндр.
63. Эллипсоиды.
Эллипсоид – x2 / a + y2 / b + z2 / c = 1
Эллипсоид у которого две оси одинаковые,
называется эллипсоидом вращения. Если три
оси – эллипсоид превращается в сферу.
64. Гиперболоиды.
1) однополостной: x2 / a + y2 / b – z2 / c = 1
z = 0 x2 / a2 + y2 / b2 = 1 - эллипс
y = 0 x2 / a2 - y2 / b2 = 1 - гипербола
x = 0 x2 / a2 - y2 / b2 = 1 - гипербола
Ось Oz – ось симметрии ( если – у тогда ось
симметрии Оу, - х тогда ось симметрии Ох)
2) двуполостный: - x2 / a - y2 / b + z2 / c = 1
z = 0 x2 / a + y2 / b = -1 – мнимый эллипс
z = c x2 / a + y2 / b = 0 х = у = 0
z> c – действительные эллипсы. С увеличением
оси z полуоси эллипса увеличиваются.
у = 0 - x2 / a2 + z2 / c2 = 1 – гипербола
х = 0 - y2 / b2 + z2 / c2 = 1 – гипербола
65. Параболоиды.
1) однополостной: x2 / a + y2 / b – z2 / c = 1
z = 0 x2 / a2 + y2 / b2 = 1 - эллипс
y = 0 x2 / a2 - y2 / b2 = 1 - гипербола
x = 0 x2 / a2 - y2 / b2 = 1 - гипербола
Ось Oz – ось симметрии ( если – у тогда ось симметрии
Оу, - х тогда ось симметрии Ох)
2) двуполостный: - x2 / a - y2 / b + z2 / c = 1
z = 0 x2 / a + y2 / b = -1 – мнимый эллипс
z = c x2 / a + y2 / b = 0 х = у = 0
z> c – действительные эллипсы. С увеличением
оси z полуоси эллипса увеличиваются.
у = 0 - x2 / a2 + z2 / c2 = 1 – гипербола
х = 0 - y2 / b2 + z2 / c2 = 1 – гипербола