§ 5. Одинаково распределенные независимые случайные величины

Зададимся вопросом: почему для улучшения точности измерения некоторой величины делается несколько замеров и берется среднее арифметическое результатов?

Пусть − независимые одинаково распределенные случайные величины. Тогда

;

;

.

Рассмотрим новую СВ . Используя свойства математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, получим:

;

;

.

Следовательно, при увеличении п среднее значение (математическое ожидание) СВ сохраняется, а рассеяние уменьшается, т.е. улучшается точность измерения.

§ 6. Функция распределения

Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция

.

Т.е. функция распределения определяется вероятностью того, что СВ примет значение, меньшее аргумента этой функции.

Пусть иРассмотрим события,,. Очевидно, чтои. Следовательно,. Тогда

.

Таким образом, функцией распределения СВХ определяется полностью.

Свойства функции распределения:

1) ;

2) если , то, т.е. это неубывающая функция;

3) ;;

4) , т.е. функция непрерывна слева во всех точках;

5) .

Пример. 1) Составим функцию распределения для СВ Х, равной числу выпадений герба при двух бросаниях монеты.

+ График.

2) Точка брошена на отрезок . Случайная величинаХ – ее абсцисса. Составим функцию распределения этой СВ.

+ График.

§ 7. Непрерывная случайная величина. Плотность ее распределения.

Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна всюду на R и дифференцируема во всех точках , за исключением, быть может, конечного или счетного числа точек.

Определение. Функция называетсяплотностью распределения непрерывной случайной величины.

Замечание. Пусть Х – непрерывная СВ (НСВ). Найдем .

;

,

так как функция непрерывна. Таким образом, для НСВ.

Следствие. Для непрерывной случайной величины

.

Теорема 2. (О вероятности попадания значений НСВ в интервал)

Для непрерывной случайной величины , где− плотность ее распределения.

Доказательство.

. Ч.т.д.

Следствие. .

Свойства плотности распределения :

1) т.к. функция распределения является неубывающей, то ее производнаядля всех;

2) .

Вероятностный смысл : .

Пример. 1) Найти плотность распределения СВ Х, заданной своей функцией распределения:

Решение.

+ Графики.

2) Определить, при каком значении параметра а функция является плотностью распределения НСВ. Найти.

Решение.

а) Чтобы найти значение параметра а, воспользуемся свойством плотности распределения . Получим:

;

; .

б) .

При .

При .

При .

Следовательно,

в) .

§ 8. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Определение. Математическим ожиданием НСВ Х называется число , где− плотность распределения СВХ. (Предполагается, что этот интеграл абсолютно сходится.)

Если − функция НСВХ, то .

Остальные характеристики НСВ вводятся аналогично характеристикам ДСВ.

Определение. Дисперсией НСВ Х называется .

Определение. Средним квадратическим отклонением НСВ Х называется .

Формула для вычисления: .

Пример. НСВ Х задана своей плотностью распределения:

Найти

Решение.

1)

2) .

3) ;

.

4) .