2.5. Определение скоростей точек механизма методом планов скоростей

Зная закон движения ведущего звена и длину каждого звена механизма, можно определить скорости его точек по значению и направлению в любом положении механизма путем построения плана скоростей для этого положения. Значения скоростей отдельных точек механизма необходимы при определении производительности и мощности машины, потерь на трение, кинематической энергии механизма; при расчете на прочность и решении других динамических задач.

Построение планов скоростей и чтение их упрощаются при использовании свойств этих планов:

1) векторы, проходящие через полюс p_V выражают абсолютные скорости точек механизма. Они всегда направлены от полюса. В конце каждого вектора принято ставить малую букву a, b, c, . . . s или другую, которой обозначена точка или шарнир механизма A, B, C, . . . S (рис. 2.3, а). Точки плана скоростей, соответствующие неподвижным точкам механизма, находятся в полюсе Р_V (О₁, О₂);

2) векторы, соединяющие концы векторов абсолютных скоростей, не проходящие через полюс, изображают относительные скорости. Направлены они всегда к той букве, которая стоит первой в обозначении скорости. Например, скорость V_BА направлена от точки а к точке b, скорости V_DO2 и V_DC – соответственно от O₂ к точке d и от точки с к точке d (рис. 2.3, б);

3) каждое подвижное звено механизма изображается на плане скоростей соответствующим одноименным, подобным и сходственно расположенным контуром, повернутым относительно схемы механизма на 90^ в сторону мгновенного вращения данного звена. Это свойство плана называется свойством подобия и позволяет легко находить скорость точек механизма.

П р и м е р 3. Определить абсолютные и относительные скорости точек звеньев и угловые скорости звеньев механизма (см. рис.2.3, а) методом планов скоростей для положения, указанного в примере 2 (₁ = 135). Частота вращения кривошипа n₁ = 150 об/мин, ₁ = 15,7 с^-1. Центы тяжести всех звеньев условно расположены в их центрах (S₁ . . . S₅).

Р е ш е н и е. Находим скорость точки А кривошипа О₁А по формуле, м/с:

v_A = ₁l_O1A; v_A = 15,7  0,200 = 3,120. (2.2)

Вектор направлен перпендикулярно к оси звена О₁А в сторону его вращения. Задаемся длиной отрезка Р_Vа (произвольно), который на плане будет изображать скорость точки А;. Тогда масштаб плана скоростей, м/с мм^-1,

. (2.3)

Из произвольной точки p_V, в которой помещены и точки опор О₁, О₂, откладываем перпендикулярно к звену О₁А отрезок Р_Vа = 94,2 мм (см. рис. 2.3, б).

Рис. 2.3

Для дальнейшего построения плана скоростей и определения скорости точки В составляем уравнение:

; (2.4)

где  скорость точки А, известна по величине и направлению;

–относительна скорость точки В во вращении вокруг точки А.

Относительная скорость известна по линии действия: перпендикулярна к звену АВ, проводится на плане из точки а (конец вектора). Скорость точки В относительно стойки направлена по линии хода ползуна, проводится на плане из полюса Р_V параллельно ходу ползуна до пересечения с вектором относительной скорости . Точка пересечения будет точкойb, определяющей конец вектора скорости :

м/с. (2.5)

Вектор ab изображает скорость точки В в относительном вращении вокруг точки А:

м/с. (2.6)

Положение точки С находим на плане скоростей по свойству подобия (из пропорции):

. (2.7)

Подставив значения длины звеньев на схеме и длины соответствующих отрезков на плане, определяем место точки С на плане скоростей. Соединив ее с полюсом, определяем значение скорости точки С, м/с:

. (2.8)

Для определения скорости точки D воспользуемся векторными равенствами:

(2.9)

где – скорость точки С, известна по значению и направлению;

–относительная скорость точки D во вращении вокруг точки С;

–скорость точки О₂ (равна нулю);

–относительная скорость точки D во вращении вокруг точки О₂.

Относительные скорости иизвестны по линии их действия:перпендикулярна к звенуDC, проводится на плане из точки С (конец вектора );перпендикулярна к звенуDO₂, проводится на плане из точки О₂ (в полюсе p_V). На пересечении этих двух линий действия получаем точку D. Конец вектора скорости точки D

v_D = p_Vd k_V; v_D = 580,033 = 1,914 м/с. (2.10)

Направление скорости определяется направлением вектораp_Vd.

Вектор dc изображает скорость v_DC точки D в относительном вращении вокруг точки С:

v_DC = dc k_V; v_DC = 570,033 = 1,881 м/с. (2.11)

Вектор dO₂ (p_Vd) изображает скорость точки D в относительном вращении вокруг точки О₂:

v_DO2 = v_D = p_Vd k_V; v_DO2 = 580,033 = 1,914 м/с. (2.12)

Исходя из теоремы подобия (третье свойство плана скоростей), находим на плане точки S₁ – S₅, соответствующие центрам тяжести звеньев. Соединив их с полюсом р_V, определяем скорости центров тяжести звеньев механизма, м/с:

v_S1 = p_VS₁ k_V; v_S1 = 47,10,033 = 1,554;

v_S2 = p_VS₂ k_V; v_S2 = 730,033 = 2,409;

v_S3 = v_D = p_Vd k_V; v_S3 = 750,033 = 2,475; (2.13)

v_S4 = p_VS₄ k_V; v_S4 = 630,033 = 2,079;

v_S5 = p_VS₅ k_V; v_S5 = 290,033 = 0,957.

Пользуясь планом скоростей, определяем угловые скорости звеньев 2, 4, 5, с^-1:

;

;

.

Угловая скорость ползуна ₃ = 0, так как он движется поступательно по неподвижной направляющей.

Для выяснения направления угловой скорости звена АВ вектор скорости , направленной к точкеb плана, мысленно переносим в точку В звена 2 и определяем, что он стремится повернуть это звено вокруг точки А против часовой стрелки. По аналогии определяем направления угловых скоростей звеньев ₄ (против часовой стрелки) и ₅ (против часовой стрелки).