- •Введение
- •1. Частота и период свободных незатухающих колебаний
- •1.1. Основные формулы и обозначения
- •1.2. Примеры решения задач
- •2. Свободные незатухающие механические колебания
- •2.1. Основные формулы и обозначения
- •2.2. Примеры решения задач
- •3. Свободные незатухающие колебания в идеальном колебательном контуре
- •3.1. Основные формулы и обозначения
- •3.2. Примеры решения задач
- •4. Сложение гармонических колебаний
- •4.1. Основные формулы и обозначения
- •4.2. Примеры решения задач
- •5. Свободные затухающие механические колебания
- •5.1. Основные формулы и обозначения
- •5.2. Примеры решения задач
- •6. Свободные затухающие колебания в реальном колебательном контуре
- •6.1. Основные формулы и обозначения
- •6.2. Примеры решения задач
- •7. Вынужденные механические колебания1
- •7.1. Основные формулы и обозначения
- •7.2. Примеры решения задач
- •8. Вынужденные колебания в колебательном контуре. Резонанс. Импеданс1
- •8.1. Основные формулы и обозначения
- •8.2. Примеры решения задач
- •9. Плоские монохроматические
- •9.1. Основные формулы и обозначения
- •9.2. Примеры решения задач
- •Библиографический список
- •644046, Г. Омск, пр. Маркса, 35
7.2. Примеры решения задач
З а д а ч а 16. Шар массой 17,1 т и радиусом 80 см, служащий для слома домов, подвешен на тросе длиной 3,6 м. Верхний конец троса закреплен, масса троса пренебрежимо мала по сравнению с массой шара. Шар раскачивают в вертикальной плоскости, приложив вынуждающую силу, момент которой относительно оси вращения меняется по закону: По какому закону будет изменяться угол отклонения троса от положения равновесия, если частота и амплитуда момента вынуждающей силы соответственно равныс-1 и 200 кН·м? Коэффициент затухания равен 5,4 с-1. Найти полную энергию колебаний системы.
Дано: кг; м; м;
с-1; Н·м; с-1; м/с2. Найти: |
Решение. По условию задачи массой троса можно пренебречь, а шар – считать физическим маятником, ось колебаний которого находится на расстоянии (123) от центра шара, поэтому обобщенной координатой удобно выбрать угол отклонения троса от равновесного (вертикального) положения1 (рис. 9) и записать закон установившихся вынужденных колебаний шара (118) для этого угла: (124) |
где, с учетом того, что обобщенной вынуждающей силой является момент силыа обобщенной массой – момент инерции шара относительно оси колебаний, выражение (119) для амплитуды имеет вид:
(125)
Разность фаз между углом и вынуждающей силой вычисляется по формуле (120):
. (126)
Момент инерции шара относительно оси колебаний определяется с помощью теоремы Гюйгенса – Штейнера (см. сноску на стр. 7) с учетом формулы (123): Рис. 9
. (127)
Собственная частота колебаний шара как физического маятника
. (128)
Подставляя равенства (127) и (128) в формулы (125) и (126), получим расчетные выражения для параметров вынужденных колебаний:
; (129)
, (130)
Подставляем в соотношения (129) и (130) данные задачи:
(131)
°.
Таким образом, все параметры, определяющие закон (124), найдены.
Полная энергия колебаний маятника вычисляется с учетом численного значения амплитуды (131) по формуле: Дж.
Ответ: гдерад;с-1; °;
Дж.
З а д а ч а 17. При какой частоте колебаний гармонической вынуждающей силы амплитуда колебаний груза массой 420 г на пружинке жесткостью 20 Н/м принимает максимальное значение? Найти это значение, если амплитуда колебаний силы равна 8,5 Н, а коэффициент затухания колебаний грузика равен 4,3 с-1.
Дано: кг; Н/м; Н; с-1. Найти: |
Решение. Собственная частота колебаний груза . (132) Максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний наблюдается при резонансе и определяется по формуле (122). Резонансная частота определяется по формуле (121). |
С учетом соотношения (132) выражения (121) и (122) принимают вид:
(133)
(134)
Подставив в выражения (129) и (130) данные задачи, получим: с-1; м.
Ответ:
м.
8. Вынужденные колебания в колебательном контуре. Резонанс. Импеданс1
8.1. Основные формулы и обозначения
Гармоническая вынуждающая электродвижущая сила задается выражением:, в котороми– амплитуда и циклическая частота колебаний электродвижущей силы соответственно. Закон установившихся вынужденных гармонических колебаний в контуре (рис. 10) выражается формулой:где амплитудаРазность фазопреде-
Рис. 10 ляется по формуле (120).
Сила тока в цепи . Амплитуда силы токагде– модуль импеданса (комплексного сопротивления) контура;и– емкостное и индуктивное реактивные сопротивления соответственно.
При частоте в цепи наблюдается резонанс тока. При этом модуль импеданса равен активному сопротивлению: