5. Свободные затухающие механические колебания

5.1. Основные формулы и обозначения

На систему, совершающую свободные затухающие колебания, действуют две обобщенных силы: возвращающая сила, задаваемая формулой (2), и сила сопротивления:

(82)

где – обобщенный коэффициент сопротивления среды.

Закон затухающих колебаний имеет вид:

(83)

где – экспоненциально убывающая амплитуда;

–начальная амплитуда, вещественная константа;

–коэффициент затухания,

–(условная) циклическая частота затухающих колебаний [1, 4, 6, 7].

Потенциальная и кинетическая энергия затухающих колебаний определяются формулами (23), в которые подставляются выражения для расчета скорости и смещения при затухающих колебаниях.

В случае малого затухания поэтому при усреднении за период пренебрегают изменением множителя:

Средняя за период полная энергия затухающих колебаний

(84)

где – начальное значение энергии.

Логарифмический декремент затухания

(85)

где – (условный) период затухающих колебаний [1, 4, 6, 7].

Добротность колебательной системы

(86)

при малом затухании вычисляется по формуле:

(87)

Добротность также принято выражать через отношение запасенной в системе энергии (84) к средней за период потере энергии

(88)

5.2. Примеры решения задач

З а д а ч а 12. Гиря массой 680 г подвешена на пружине жесткостью 16,3 Н/м. За 24 полных колебания их амплитуда уменьшилась в 1,44 раза. Определить коэффициент затухания, циклическую частоту затухающих колебаний и добротность маятника.

Дано: кг; Н/м; Найти: ;;

Решение. Амплитуда затухающих колебаний с течением времени убывает по закону: . (89) Время полных колебаний (90)

где – время одного колебания, т. е. период затухающих колебаний, связанный с их циклической частотой

(91)

соотношением:

; (92)

с^-1 – (93)

собственная частота колебаний пружинного маятника.

Следовательно, согласно закону (89) и равенству (90) в момент времени амплитуда колебаний. Отсюда

(94)

Соотношения (91), (92), (94) представляют собой систему трех уравнений с тремя неизвестными: ,,Возводя обе части выражения (94) в квадрат, а затем, подставляя в полученное равенство формулы (92) и (91), получим:

(95)

Отсюда, учитывая равенство (93), выразим :

(96)

(97)

следовательно, выполнено условие малости затухания и добротность системы можно найти по формуле (87) с учетом выражения (96):

. (98)

Подстановка значения (93) в формулы (91) и (97) позволяет с учетом малостинайти соответственно численные значенияи:с^-1; с^-1.

Ответ: с^-1;

с^-1;

З а д а ч а 13. Энергия затухающих колебаний осциллятора, происходящих в вязкой среде с малым затуханием, за 5 мин уменьшилась в 37 раз. Определить коэффициент сопротивления среды, если масса осциллятора равна 120 г.

Дано: с; кг. Найти:

Решение. Коэффициент сопротивления среды связан с коэффициентом затухания колебаний и массой осциллятора: (99)

Для определения воспользуемся выражением (84) для средней за период полной энергии затухающих колебаний:

(100)

Отсюда для интересующего момента времени получим:и выразим:

(101)

Объединив формулы (95) и (96), получим:

. (102)

Подстановка численных данных в выражение (102) приводит к следующему результату: .

Ответ: ,.