Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Омский государственный университет путей сообщения

_______________________________

О. И. Сердюк, Г. Б. Тодер

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний для самостоятельной работы студентов

при решении задач по физике

Омск 2011

УДК 530.1(075.8)

ББК 22.3я73

С32

Колебания и волны. Примеры решения задач: Методические указания к решению задач по физике / О. И. Сердюк, Г. Б. Тодер; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2011. 44 с.

Методические указания составлены в соответствии с действующей программой по курсу общей физики для втузов, содержат список основных формул и примеры решения задач по теме «Колебания и волны». Для решения предлагаемых задач необходимо применить теорию колебаний и волн к гармоническим, затухающим и вынужденным колебаниям механических систем, к электрическому колебательному контуру, механическим и электромагнитным волнам.

Предназначены для студентов 2-го курса дневного и заочного обучения.

Библиогр.: 9 назв. Табл. 2. Рис. 11.

Рецензенты: доктор техн. наук, профессор В.Е. Митрохин;

канд. физ.-мат. наук, доцент О. А. Ивченко.

__________________________

С Омский гос. университет

путей сообщения, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

1. ЧАСТОТА И ПЕРИОД СВОБОДНЫХ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ 5

1.1. Основные формулы и обозначения 5

1.2. Примеры решения задач 5

2. СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 9

2.1. Основные формулы и обозначения 10

2.2. Примеры решения задач 10

3. СВОБОДНЫЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ В ИДЕАЛЬНОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ 15

3.1. Основные формулы и обозначения 15

3.2. Примеры решения задач 15

4. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 19

4.1. Основные формулы и обозначения 19

4.2. Примеры решения задач 20

5. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 22

5.1. Основные формулы и обозначения 22

5.2. Примеры решения задач 23

6. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ В РЕАЛЬНОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ 25

6.1. Основные формулы и обозначения 25

6.2. Примеры решения задач 26

7. ВЫНУЖДЕННЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 28

7.1. Основные формулы и обозначения 28

7.2. Примеры решения задач 29

8. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ. РЕЗОНАНС. ИМПЕДАНС 32

8.1. Основные формулы и обозначения 32

8.2. Примеры решения задач 33

9. ПЛОСКИЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ 36

9.1. Основные формулы и обозначения 36

9.2. Примеры решения задач 37

Библиографический список 40

Введение

Колебательные и волновые процессы наблюдаются в самых разных физических, химических, биологических и других системах. Но, несмотря на различную природу, все они обладают общим признаком – повторяемостью во времени, поэтому и исследуются с единой точки зрения. В теории колебаний общий подход реализуется следующим образом. Независимые характеристики осциллятора (системы, совершающей колебания), описывающие его смещение от положения равновесия, называются обобщенными координатами (число обобщенных координат равно числу колебательных степеней свободы системы). Физические величины – характеристики взаимодействия, приводящего к изменению обобщенных координат системы, рассматриваются как обобщенные силы, действующие на систему, а первые и вторые производные обобщенных координат по времени – соответственно как обобщенные скорости и обобщенные ускорения. Уравнения, описывающие колебания, записываются через обобщенные величины, поэтому вид уравнений определяется только типом колебаний и не зависит от природы осциллятора. Таким образом, осциллятор любой природы описывается моделью материальной точки (частицы), совершающей механические колебания под действием обобщенных сил, а основным математическим аппаратом теории колебаний служат дифференциальные уравнения, структура которых в каждом конкретном случае аналогична структуре основного закона динамики исследуемой (вместо реальной системы) материальной точки.

Так как одной из основных целей издания настоящих методических указаний является выработка общего подхода к изучению всевозможных колебательных и волновых явлений, указания содержат большой набор примеров решения разнообразных задач по теме «Колебания и волны». Для успешного решения приведенных задач требуются теоретические знания и навыки решения задач из других разделов физики. Необходимые теоретические сведения, позволяющие тщательно изучить соответствующую теорию, имеются в литературе [1 – 7]. Для удобства использования данных методических указаний структура настоящего издания полностью повторяет структуру работы [8], содержащей задачи для самостоятельной работы студентов. Для дополнительной работы над задачами можно воспользоваться также любым задачником, в котором имеются примеры решения задач, например [9].

1. Частота и период свободных незатухающих колебаний

1.1. Основные формулы и обозначения

Как известно, малые свободные незатухающие колебания систем любой природы являются гармоническими. Система, совершающая такие колебания, называется линейным гармоническим осциллятором. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид¹:

, (1)

где – обобщенная координата;

–циклическая частота колебаний;

–обобщенное ускорение.

Циклическая частота связана с частотой соотношением:. Период колебаний.

Обобщенная возвращающая сила, действующая на линейный гармони­ческий осциллятор и приводящая к ускорению: , подчиняется (как и сила упругости, возникающая при малых деформациях тел) закону Гука:

, (2)

где

– (3)

обобщенный коэффициент жесткости;

–обобщенная масса.

Собственная частота колебаний определяется по формулам:

1) – для пружинного маятника с массойи коэффициентом упругости пружины

2) – математического маятника с длиной нити

3) – физического маятника с массоймоментом инерциии расстоянием от центра инерции до оси вращения(– ускорение свободного падения).