Риc. 5.20. Переходный процесс в системе 1-го порядка

5.6.2. Система 2-го порядка

Стандартное описание такой системы следующее:

. (5.41)

Переходные процессы в ней зависят от трех параметров: коэффициента усиления k, который определяет установившееся значение для выходной переменной в соответствии с выражением (5.24); постоянной времени T и коэффициента демпфирования d.

В литературе приводятся нормированные переходные характеристики в зависимости от d. Качественный вид их представлен на рис. 5.21.

В системе 2-го порядка время переходного процесса зависит не только от постоянной времениT, но и от коэффициента демпфирования d, поэтому для его приближенной оценки можно пользоваться соотношением (5.40), если d изменяется в диапазоне .

Риc. 5.21. Переходные процессы в системе 2-го порядка

Корни характеристического уравнения системы следующие:

,

что позволяет определить колебательность (при d < 1) в виде

.

Таким образом, коэффициент демпфирования d определяет колебательность системы, а следовательно, и ее перерегулирование.

5.6.3. Система 3-го порядка

Стандартная передаточная функция системы имеет вид:

. (5.42)

Таким образом, переходные процессы в ней определяют уже четыре параметра: k, T, A и B.

Установившееся значение для выходной переменной соответствует выражению (5.39), то есть зависит только от коэффициента усиления k, инерционность процессов зависит от T, а колебательные свойства системы определяются параметрами A и B.

Для исследования этой зависимости используется диаграмма Вышнеградского, полученная им в 1876 году на основе характеристического уравнения

. (5.43)

Поскольку при оценке колебательности быстродействие нас не интересует, перейдем к нормированному характеристическому уравнению заменой в (5.43) Tp оператором q:

, (5.44)

где A и B - параметры Вышнеградского.

Введем в рассмотрение область значений параметров А и В и нанесем границу устойчивости, соответствующую условию:

A B = 1 . (5.45)

Разобьем ее на подобласти с различным распределением корней характеристического уравнения (5.44), а значит и видом переходных процессов (рис. 5.22).

Чтобы оценить вид переходного процесса, необходимо отметить точку с соответствующими значениями параметров A и B на диаграмме Вышнеградского.

Рис. 5.22. Диаграмма Вышнеградского

Если она попала в область, где все корни вещественные (область 3), процесс будет иметь апериодический характер (рис.5.23).

Рис. 5.23. Переходные процессы в

системе с вещественными корнями

Если точка соответствует области 1, где ближайшей к мнимой оси будет пара комплексно - сопряженных корней, то это - область колебательных процессов (рис.5.24).

Рис. 5.24. Колебательные процессы

В случае, когда вещественный корень располагается ближе к мнимой оси, чем пара комплексно - сопряженных (область 2), колебательная составляющая затухает быстрее, и процессы будут носить монотонный характер.

Рис. 5.25. Монотонные процессы