5.5. Корневой метод анализа

5.5.1. Введение

Данный метод анализа, в отличие от частотного, позволяет исследовать реакцию системы на начальные условия (первое слагаемое решения (5.2) и может применяться как для одноканальных, так и для многоканальных систем.

Так для одноканальных систем типа

, (5.34)

общая реакция на входной сигнал при ненулевых начальных условиях описывается соотношением

,

которое является частным случаем (5.2).

Нас интересует первая составляющая, представляющая собой линейную комбинацию мод (2.39):

где - корни характеристического уравнения.

Каждая мода эквивалентна решению системы первого или второго (если корни комплексно - сопряженные) порядка, причем скорость затухания соответствующей экспоненты зависит от численного значения .Поэтому на основе корней характеристического уравнения можно оценить граничные составляющие переходного процесса: самую быструю, самую колебательную моду и т.п.

5.5.2. Корневые оценки переходного процесса

Будем рассматривать характеристическое уравнение системы

с корнями , которые изобразим на комплексной плоскости.

Наиболее удаленные от мнимой оси корни (имеющие max) определяют моды, затухающие быстрее всего. Корни характеристического уравнения, расположенные ближе всего к мнимой оси (с min, дают наиболее медленно затухающие моды, которые и определяют длительность переходного процесса.

Риc. 5.19. Корневой портрет системы

Поэтому корневой оценкой быстродействия служит расстояние до мнимой оси ближайшего к ней корня, то есть

. (5.35)

В случае, когда статическая ошибка 5%, можно приближенно оценивать время переходного процесса (время попадания в 5% зону) по соотношению:

. (5.36)

Колебания в системе будет наблюдаться только в том случае, когда характеристическое уравнение содержит комплексно - сопряженные корни

. Склонность системы к колебаниям характеризует величина

, (5.37)

которая называется колебательностью. Чем больше , тем более колебательными будут переходные процессы системы и наоборот. При колебания отсутствуют, процессы будут носить апериодический характер. Обычно допустимая колебательность системы

5.6. Анализ систем низкого порядка

5.6.1. Система 1-го порядка

Качество процессов в системе 1-го порядка, которая описывается с помощью стандартной передаточной функции,

, (5.38)

зависит от коэффициента усиления k и постоянной времени T.

Реакция системы на входное воздействие типа v = const представляет собой экспоненту, скорость затухания которой определяется параметром T, а установившееся значение (статика) для выходной переменной соответствует выражению

. (5.39)

Процесс считают закончившимся, когда выходная переменная достигает установившегося значения с точностью не менее 5% .

Система (5.38) имеет только один корень характеристического уравнения, поэтому, а время переходного процесса в соответствии с (5.36)

, (5.40)