Некоторые соображения о спектре колебаний с угловой модуляцией

Рас­смотрим колебание вида

в котором передаваемое сообщение e(t) (точнее, модулирующий сигнал) зало­жено в функцию фазового угла ψ(t).

При частотной модуляции функция ψ(t) является интегралом от передавае­мого сообщения e(t). Это вытекает из выражений (2.93) и (2.95). Поскольку ин­тегрирование является линейным преобразованием, то при ЧМ спектр функции ψ(t) будет содержать те же компоненты, что и спектр сообщения e(t), но с изме­ненными амплитудами и фазами.

Если колебание u_МОД(t) получено с помощью фазовой модуляции, то ψ(t) и e(t) полностью совпадают по форме и отличаются лишь постоянным коэффици­ентом. При этом очевидно, с точностью до постоянного коэффициента совпада­ют и спектры функции ψ(t) и e(t).

Определим спектр модулированного колебания u_МОД(t), считая заданным спектр функции ψ(t). Для этого воспользуемся тригонометрической формулой представле­ния косинуса суммы двух углов и преобразуем выражение (2.101) к виду:

Из (2.102) следует, что в общем случае модулированный по углу сигнал можно рассматривать как сумму двух квадратурных колебаний: косинусного и синусного каждое из которых модулировано только по амплитуде. Нетрудно также заметить, что закон ам­плитудной модуляции для косинусного колебания определяется «медленной» функцией cosψ(t), а синусного — «медленной» функцией sinψ(t). Но выше было установлено, что для определения спектра амплитудно-модулированного колебания достаточно сдвинуть на частоту ω₀ спектр огибающей амплитуд передаваемого сообщения. Следовательно, для нахождения спектра колебания u_МОД(t), определяемого выражением (2.102), необходимо сначала найти спектры функций cosψ(t) и sinψ(t), т. е. спектры огибающих квадратур­ных колебаний. Перенос этих спектров на частоту ω₀ можно затем осущест­вить как и при обычной амплитудной модуляции.

Приведенные рассуждения показывают, что при одном и том же переда­ваемом сообщении спектр колебания, модулированного по углу, значительно сложнее, чем спектр модулированного по амплитуде. Действительно, по­скольку cosψ(t) и sinψ(t) являются нелинейными функциями по отношению к своему аргументу ψ(t), то их спектры могут существенно отличаться от спек­тра функции ψ(t); при этом возможно возникновение кратных и комбинаци­онных частот, как это имеет место при обычных нелинейных преобразовани­ях спектра.

Данное обстоятельство, а также наличие двух квадратурных слагаемых по­казывают, что при угловой модуляции спектр модулированного колебания нельзя получить простым сдвигом спектра сообщения на величину несущей частоты ω₀, как это имеет место при амплитудной модуляции. При угловой модуляции связь между спектрами реального сообщения и модулированного колебания оказывается более сложной.

Спектр чм-сигнала при однотональной модуляции

Используя тригономет­рические преобразования, запишем соотношение (2.95) следующим образом (здесь и далее индекс у коэффициента т опущен):

Проанализируем выражение (2.103) отдельно для малых (т << 1) и боль­ших (т > 1) индексов модуляции.

Спектр ЧМ-сигнала при т << 1. В этом случае имеют место приближенные равенства

Подставив (2.104) в (2.103), получим

Сравнение соотношений (2.105) и (2.77) показывает, что спектр ЧМ-сигнала аналогичен спектру АМ-сигнала и также состоит из несущего коле­бания и двух боковых составляющих с частотами ω₀ + Ω и ω₀ − Ω. Индекс модуляции т играет здесь ту же роль, что и коэффициент амплитудной моду­ляции М. Единственное и принципиальное отличие — знак минус перед нижней боковой составляющей в формуле для ЧМ-сигнала, который характе­ризует поворот ее фазы на 180°, что аналитически приводит к превращению АМ-сигнала в ЧМ-сигнал.

На рис. 2.32, а представлена спектральная диаграмма для ЧМ-сигнала при индексе модуляции т << 1. Отметим, что ширина спектра в данном случае равна 2Ω, как и при амплитудной модуляции.

На векторной диаграмме рис. 2.32, б показано, как изменение фазы ниж­ней боковой составляющей на 180° (вектор АД) влияет на вектор результи­рующего колебания ОВ. Направление вектора АД нижней боковой состав­ляющей при АМ-сигнале обозначено штриховой линией. Изменение направ­ления этого вектора на 180° не влияет на вектор модуляции АВ, который всегда перпендикулярен вектору несущей ОА. Вектор результирующего коле­бания ОВ изменяется как по фазе, так и по амплитуде, т. е. с течением вре­мени «качается» вокруг центрального положения. Однако при т << 1 изме­нения амплитуды настолько малы, что ими можно пренебречь и модуляцию рассматривать как чисто фазовую.

Спектр ЧМ-сигнала при т > 1. Данный случай представляет основной практический интерес, поскольку при больших т помехоустойчивость пере­дачи сигнала существенно выше, чем при амплитудной модуляции. Здесь при расчетах оказывается удобным аппарат функций Бесселя. Из математики из­вестно, что эти функции записываются следующим образом:

где J_n(m) — функция Бесселя первого рода «-го порядка, имеющая при отри­цательном порядке значение

Ряды (2.106) и (2.107) подставим в формулу (2.103), а затем заменим произ­ведение косинусов и синусов полусуммами косинусов соответствующих аргу­ментов. Тогда, с учетом равенства (2.108), получим следующее выражение:

Итак, спектр ЧМ-сигнала с одно­тональной модуляцией при индексе модуляции т > 1 состоит из из несу­щего колебания и двух групп высоко­частотных гармоник в виде бесконеч­ного числа боковых составляющих с частотами ω₀ + nΩ, и ω₀ − nΩ, распо­ложенными попарно и симметрично относительно несущей частоты ω₀.

Теоретически спектр ЧМ-сигнала (аналогично и ФМ-сигнала) бесконе­чен по полосе частот, однако в реаль­ных случаях он ограничен. Дело в том, что, начиная с номера порядка п ≥ т + 1, значения функций Бесселя становятся весьма малыми (рис. 2.33). Поэтому считает­ся, что практическая ширина спектра радиосигналов с угловой модуляцией

ЧМ- и ФМ-сигналы, применяемые на практике, имеют индекс модуляции т >> 1, поэтому

Таким образом, полоса частот, занимаемая сигналами с однотональной частот­ной модуляцией, равна удвоенной величине девиации частоты и не зависит от час­тоты модуляции. Спектр сигналов с угловой модуляцией при негармоническом мо­дулирующем сигнале определить достаточно трудно. Но он всегда сложнее, чем спектр АМ-сигнала при том же модулирующем сигнале. Ширина его спектра так­же значительно больше, чем при амплитудной модуляции.

Примерная структура спектра ЧМ-сигнала при индексе модуляции т = 3 показана на рис. 2.34.

Следует отметить, что радиосигналы с частотной и фазовой модуляцией имеют ряд важных преимуществ перед амплитудно-модулированными колебаниями.

1. Поскольку при угловой модуляции амплитуда модулированных колебаний не несет в себе никакой информации и не требуется ее постоянства (в отличие от ам­плитудной модуляции), то практически любые вредные нелинейные изменения ам­плитуды радиосигнала в процессе осуществления связи не приводят к искажению передаваемого сообщения.

2. Постоянство амплитуды радиосигнала при угловой модуляции позволяет полностью использовать энергетические возможности генератора несущей частоты, который работает в этом случае при неизменной колебательной мощности.

Все сказанное справедливо лишь при следующем условии: амплитуда полезного сигнала на входе частотного детектора должна значительно превышать эффектив­ное напряжение шума. В противном случае неизбежен так называемый пороговый эффект. Может оказаться, что ЧМ-система при малом отношении сигнал/шум на входе будет функционировать хуже, чем аналогичная система с АМ-сигналами. Кроме того, для реализации отмеченных преимуществ ЧМ- и ФМ-колебаний необ­ходимо отводить конкретному радиосигналу слишком широкую полосу частот, зна­чительно превышающую ширину спектра модулирующей функции.

Литературный источник: [1] страницы 115-122.