1.2. Вывод основного уравнения мокулярно-кинетической теории

Найдем давление газа на стенки сосуда. Рассмотрим следующую модель: пусть в центре куба со стороной l находится молекула (рис.1.2). Условно можно считать, что молекула может двигаться в одном из 6 возможных направлений. Пусть ее средняя скорость равна V. Ударяясь в стенки, молекула оказывает на них давление. Найдём его.

Сила, действующая на стенку при ударе одной молекулы равна силе, действующей на молекулу. Она равна отношению изменения импульсамолекулы ко времени этого измененияt:

Вектор:

(где m - масса 1 молекулы, ₁,₂ - скорости движения молекулы к стенке и обратно (рис.1.2). Проекция давления: (₂ = ₁ =  т.к. удар о стенку упругий). Молекула долетит до стенки и вернётся в центр куба через время dt=l/. Отсюда получаем, что сила, действующая на стенку, равна F=dp/dt=2m²/l.

Средняя сила, создаваемая ударом одной молекулы равна.Угловыми скобками < > мы обозначаем ускорение по всем молекулам. Если число молекул в кубеn, то к данной стенке движутся их 1/6 часть. В таком случае они создают силу: и давление:. Величина- является концентрацией молекул. А- средняя кинетическая энергия одной молекулы. Итак, для давления идеального газа на стенки сосуда получаем:или

(1.2)

Это основное уравнение кинетической теории газов.

Давление на стенку сосуда определяется произведением концентрации молекул n₀ на их среднюю кинетическую энергию .

1. 3. Молекулярно-кинетическое толкование температуры

Перепишем основное уравнение кинетической теории для произвольной массы газа m. Пусть в объеме V содержится идеальный газ, имеющий молярную массу .

В одном моле газа (массой ) содержится число молекул, равное числу Авогадро N_A, если же масса газа равна m, то это составит m/ молей и общее число молекул будет равно N= N_Am/. С учетом объема V, занимаемого газом, не трудно получить концентрацию молекул n₀=N/V= (N_Am/)/V. Подставляя это значение в соотношение (1.2), получим выражение:

, которое целесообразно сравнить с уравнением состояния идеального газа Менделеева-Клапейрона

Сравнение этих выражений позволяет получить величину средней кинетической энергии молекулы газа:

(1.3)

По определению, отношение газовой постоянной R к числу Авогадро N_A называют постоянной Больцмана и обозначают буквой k=R/N_A.; k=1,38^.10^-23 Дж/К.

Таким образом, получаем, что температура тела Т равна с точностью до постоянного множителя 3/2^.k равна средней кинетикой энергии поступательного движения молекул W_k:

W_k=3/2^.kT (1.3)

С учетом данного выражения основное уравнение кинетической теории можно переписать иначе:

(основное уравнение кинетической теории) (1.4.)

Найдём среднюю квадратичную скорость поступательного движения молекул V_ср.кв.:

откуда , (1.4)

где k – постоянная Больцмана, m – масса молекулы, R – универсальная газовая постоянная,  - молярная масса, Т – температура.

При абсолютном нуле (Т = 0) движение молекул прекращается т.е. .

1.4. Статистические распределения

Задача статистического распределения - указать, какая доля частиц имеет заданные параметры. Например, какая часть людей имеет рост от Н до H + dH (рис.1.3), или какая часть молекул имеет скорость в интервале (V , V+dV) или энергию в интервале (W , W+dW).

Площадь заштрихованного прямоугольника (см. рис.1.3) равнаf(H)dHи является долей людей ростом от Н до Н+dH:, (1.5)

где N₀ – общее число людей.

Площадь под всей кривой с одной стороны равна интегралу , с другой стороны, равна единице, т. к.

Величина dN = N₀ f(H)dH - задает число людей с ростом в интервале Н до Н+dH.

Существует термин «момент» распределения f(H). Их бесконечное множество. Например:

а) среднее (математическое ожидание <H> = (1.6)

или начальный момент 1-го порядка);

б) начальный момент 2-го порядка: <H²> = (H)dH (1.7)

в) Дисперсия (центральный момент

2-го порядка) D = (1.8)

Существует теорема о том, что совокупность моментов всех порядков полностью задают распределение.

Вид статистики зависит от свойств частиц: квантовые объекты подчиняются квантовым статистикам.