4.10.4. Совершенные нормальные формы в базисах и-не и или-не

Совокупность элементарных функций, с помощью которых можно записать любую функцию , называется функционально полной системой функций или базисом. Из выше приведенного параграфа можно сделать вывод, что для представления любой функции, в СДНФ и СКНФ достаточно использовать только функции (операции) И, ИЛИ и НЕ, т.е. совокупность этих функций является базисом.

Преобразуем СДНФ функции с помощью законов двойного отрицания и де Моргана:

Данная форма представления функции называется совершенной нормальной формой (СНФ) в базисе И-НЕ, так как она требует использования только функций (операций) И-НЕ.

Проведем аналогичные действия с СКНФ:

Данная форма представления функций называется СНФ в базисе ИЛИ-НЕ, так как она требует использования только функций (операций) ИЛИ-НЕ.

4.11. Минимизация логических функций

Одной из основных задач, возникающих при синтезе комбинационных схем (КС), является минимизация логических функций, которые эти КС реализуют. Чем проще логическое выражение, описывающее функцию, тем проще и дешевле реализующая ее КС.

В качестве критерия сложности логического выражения, описывающего функцию, целесообразно принять числи первичных термов , в него входящих.

Существуют два метода минимизации:

аналитический, весьма трудоемок и требует не тривиального подхода, который не всегда виден;

графический, наиболее нагляден, прост в использовании, но может иметь некоторые ограничения.

Очевидно, что любой метод минимизации может основываться только на тождественном преобразовании логических выражений.

4.11.1. Конъюнктивные и дизъюнктивные термы

Конъюнктивным термом (контермом)называется: конъюнкция любого числа первичных термов, если каждый первичный терм с индексомpвходит в него не более одного раза.

- функцияпредставляет собой конъюнкцию первичных термов.

Дизъюнктивным термом (дизтермом) называется: дизъюнкция любого числа первичных термов, если каждый первичный терм с индексомpвходит в нее не более одного раза.

- функцияпредставляет собой дизъюнкцию первичных термов.

Пример: Возьмем две точки области определения функции трех переменныхi=1₁₀ (001)₂иj=5₁₀ (101)₂. Выразим эти точки через термы.

Для точки i-

Для точки j-

1. Сложим первичные термы с одинаковыми индексами точки iи точкиjсоответственно.

,,- перемножим полученные результатыполучим:- контерм точек 1 и 5 области определения функции трех переменных.

2. Перемножим первичные термы с одинаковыми индексами точки iи точкиjсоответственно, при этом проведем инверсию каждого терма,,,сложим полученные результаты,получим:- дизтерм точек 1 и 5 области определения функции трех переменных.

4.11.2. Правила минимизации логических функций

Общие правила можно установить только для случаев, когда в результате минимизации получаются так называемые минимальные нормальные формы (МНФ) функций.

Есть понятие соседнихминтермов (макстермов): - два минтермаибудем называтьсоседними, если они различаются только одним первичным термом, т.е. для одного из минтермовe_p=0, а для другогоe_p=1(все же остальные первичные термы одинаковые)

Например: если n=3, то минтермыиявляются соседними, так как они различаются только одним первичным термом. Для минтермасоседними являются также минтермыи. Отсюда можно сказать, что каждый минтермnпеременныхимеет поnсоседних минтермов из общего числа2ⁿминтермов.

Рассмотрим контерм nпеременных, не зависящий от одной переменной, т.е. случай, когда контерм является конъюнкцией (n-1)-го первичного терма. Данный контерм можно представить в виде. Очевидно, что полученные минтермыиявляются соседними, так как они различаются только одним первичным термом. Отсюда следует правило минимизации:дизъюнкцию двух соседних минтермов можно заменить одним контермом, независящим от одной переменной.

Если минтерм имеет два соседних минтерма, то их можно заменить двумя контермами независящих от соответствующих переменных, так как согласно закону 1.6 (x+x=x) минтерм, который соседний с двумя другими, можно заменить на дизъюнкцию любого числа равных ему минтермов. В результате такого объединения можно получить контермы соседние друг с другом. Их так же можно объединить, получая из двух соседних контермов, независящих от одной переменной, один контерм, независящий од двух переменных. Такая процедура проводится до тех пор пока функция будет состоять только из не соседних контермов или минтермов.

Исходя из выше сказанного, можно установить общее правило минимизации: одним контермом n переменных , не зависящим отm переменных , можно заменить дизъюнкцию2^m минтермов, если каждый из них имеет по m соседних минтермов среди остальных 2^m-1 минтермов.

В результате таких операций получается функция: - такая форма представления функции называется ДНФ, а если она содержит минимально возможное число первичных термов, то она называется минимальной ДНФ (МДНФ).

Получение минимальной конъюнктивной нормальной формы (МКНФ) сводится к нахождению двойственной функции от МДНФ, в результате чего получаем: