4.5. Логические функции

Логическая функция– это логическое выражение, состоящее из логических переменных связанных между собой с помощью операций алгебры логики.

В соответствии с вышеприведенными аксиомами (1)-(5) функция может принимать в зависимости от значений переменных x_p только два значения0и1.

Для функции nпеременныхx_n-1,…,x₀будем использовать общее обозначениегдеv=(x_n-1,…,x₀)каждая переменнаяx_p (p=0,1,2,…,n)может принимать только два значения0и1. Поэтому число всех возможных комбинаций значенийx_n-1,…,x₀ конечно и равно2ⁿ.

В общем виде конкретное значение переменной x_p (0 или 1) будем обозначать черезe_p. Символамиi, jи т.п. будем обозначать порядковые десятичные числа.e_n-1…e_p…e₀ – обобщающая запись двоичного числа, гдеe_p = 0 или 1, и являются элементами алгебры логики если они используются в качестве значений переменных, для этих элементов не существует соотношений больше или меньше.

4.6. Область определения логических функций

Областью определения функции n переменныхx_n-1,…,x₀ является совокупность точекn-мерного пространства, причем каждая из точек задается определенной комбинацией значений этих переменныхгдеe_p =0или1,(p=0,1,2,…,n-1).

Например,пусть есть некая функция 4х переменныхn=4то одна из точек определения этой функцииV_i =(e_n-1…e_p…e₀)гдеi=e_n-1…e_p…e₀ (например,V_i=1100).

Из этих соотношений видно, что точки определения можно посчитать по порядку от 0до2ⁿкак в двоичном счете, так и десятичном и в любом другом. Поэтому область определения функцииf(v) nпеременных имеет2ⁿточек т.е.

Для задания функции f(v) следует указать ее значения во всех точках области определения т.е. следует задать значенияf(v_i)=0или1гдеi=0,1,2,…,2ⁿ-1. В совокупности эти значения представляют некое двоичное число из2ⁿразрядов т.к. имеется всегоразличных2ⁿ разрядных двоичных чисел, то и число различных функцийnпеременных равно.

Функции n переменных могут зависеть не от всех переменныхx_n-1…x₀. Такие функции называютсявырожденными.

Так же функция может быть задана как во всех точках определения, так и не во всех:

- функция nпеременныхf(v) называетсяполностью определенной,если ее значения f(v_i)=0или1 заданы во всех2ⁿ точкахV_i области определения;

- если же значение функции не задано хотя бы в одной точки V_i, то она называетсяне полностью определенной, это означает, что функция в этой точке может иметь значение 1 или 0 – и это не важно – такое значение будем называть коэффициентомс;

- если значения функции не заданы во всех точках V_i, то она называетсяполностью неопределенной.

4.6. Таблица истинности

Так как область определения любой функции nпеременных конечна2ⁿточек она может быть задана таблицей значенийf(v_i)=0или1которые она принимает в точкахv_i, гдеi=0,1,…,2^n-1. Такие таблицы называютсятаблицами истинности.

Например: функция двух переменных

Vi- точки определения функции	Значения точек определения функции (значения e0, e1 переменных функции x0, x1)	Значение функции f(v) в точках определения
V0	0 0	1
V1	0 1	0
V2	1 0	0
V3	1 1	0