3.3. Вывод уравнения движения системы
Схематически рассматриваемая система будет выглядеть так:
Рис. 3.2. Ball&Beam механическая система.
Сначала
рассмотрим движение шарика. В
рассматриваемой модели присутствуют
3 вида движения шарика: движение шарика
как точки массы m вдоль жёлоба, вращение
шарика как тела с моментом инерции J
относительно собственного центра масс
и движение шарика как точки массы m
вместе с вращающимся с угловой скоростью
желобом.
Запишем выражения кинетической(Т) и
потенциальной(П) энергий для данной
системы:
(3.1)
При получении данных выражений было учтено, что угол α поворота жёлоба зависит от угла θ поворота колеса:
(3.2)
Введём функцию Лагранжа:
(3.3)
Поскольку угол поворота колеса и расстояние от кривошипа до центра масс шарика являются обобщёнными координатами движения системы, то после применения основной теоремы вариационного исчисления к равенству
(3.4)
где
;
(3.5)
;
(3.6)
;
(3.7)
в
силу произвольности
мы
получаем тождественно – равные нулю
выражения. Следует отметить, что если
бы мы не учли зависимость между углами
поворота колеса и жёлоба, то применять
основную теорему мы бы не смогли,
поскольку она справедлива только для
независимых вариаций. Уравнение (4.4)
справедливо, если выполняются следующие
условия:
(3.8)
т.е. выбранные нами обобщённые координаты должны быть независимыми.
Изменение угла поворота жёлоба зависит от изменения угла поворота колеса, но координата движения шарика вдоль жёлоба изменяется независимо от угла поворота колеса. Таким образом, в качестве обобщённых координат выступают координата движения шарика вдоль жёлоба и координата изменения угла поворота колеса.
Следует также отметить, что вращение колеса осуществляется действием мотора, работающего за счёт электрического тока, поэтому необходимо ещё вывести уравнение изменения электрического тока. Из 2 – го закона Кирхгофа это уравнение будет иметь вид:
(3.9)
где
-
напряжение на выходе усилителя (В);
-
напряжение противоЭДС (В);
-
постоянная двигателя (В*с/рад);
-
индуктивность (Гн);
-
сопротивление (Ом);
-
ток якоря (А);
Вернёмся к составлению уравнений движения системы. Подставим выражения (3.1) в (3.3) - получим
(3.10)
Подставляя выражение (3.10) в (3.6), (3.7) получаем следующую систему уравнений:
(3.11)
-
момент инерции всей системы, приведённый
к двигателю
-
коэффициент сопротивления вращению,
приведенный к двигателю.
Поясним второе уравнение системы. Правая часть этого уравнения представляет собой непотенциальную обобщённую силу по координате θ - сумму моментов силы сопротивления и двигателя. По координате rнепотенциальных сил нет.
3.4. Уравнения возмущённого движения
3.4.1 Задание положения равновесия
В
нашем случае система уравнений допускает
равновесие, в котором
.
Будем полагать
(3.12)
тогда
(3.13)
Подставим выражения (3.12) и (3.13) в полученную систему уравнений, тогда система уравнений (3.9) и (3.11) примет вид
(3.14)
Решая эту систему, получаем ненулевое положение равновесия
(3.15)
Таким образом, мы задали невозмущённое движение для системы (3.9) и (3.11). Эти условия мы будем использовать при выводе системы уравнений возмущённого движения.