2.1.3. Фазовая плоскость

2.1.3.1. Предисловие

В данном разделе будет рассмотрено построение фазовой плоскости для уравнения 2 порядка. Иначе говоря, мы можем построить графическую зависимость одной переменной от другой.

2.1.3.2. Построение фазовой плоскости.

Для построения фазовой плоскости откроем ранее построенную модель (см. рис. 2.9) и добавим в нее компонент построения фазовой плоскости

Рис. 2.13. Добавлен компонент построения фазовой плоскости

В качестве оси абсцисс (первый вход компонента) будет выступать первая переменная, а в качестве оси ординат (второй вход компонента) будет выступать вторая переменная. Делаем соответствующие разветвления и получаем следующее

Рис. 2.14. Построены входы компонента фазовой плоскости

После применения этого компонента на экране отобразится следующее

Рис. 2.15. Фазовая плоскость системы уравнений 2 порядка

2.2. Диссипативная система

2.2.1. Введение

Примером диссипативной системы может быть следующая система уравнений

(2.8)

которая является модификацией системы

(2.9)

Эта система отличается от системы (2.2) наличием диссипативного члена, выражаемого первой производной. Решение этой системы будет экспоненциально убывать (см. 2.10) по сравнению с (2.3)

(2.10)

Представим систему (2.8) в матричном виде

(2.11)

т. е. матрица Pсистемы (2.11) принимает вид

(2.12)

Управление в системе отсутствует, а начальные условия аналогичны условиям (2.7).

2.2.2. Описание выполняемых операций

Запустим MATLAB и откроем файл "dif_2"

Рис. 2.16. Исходная система (недиссипативная)

Чтобы различать диссипативную и недиссипативную системы, сохраним систему под именем, например "dif_2_1"

Рис. 2.16. Система перед изменением

Удалим из этой системы оператор домножения

Рис. 2.17. Удалён оператор домножения

и заменим его на оператор суммирования

Рис. 2.18. Добавлен оператор суммирования

а поскольку нам необходимо сложить два отрицательных числа (см. второе выражение системы (2.8)), то нам необходимо изменить параметры суммирования. Для этого мы дважды щёлкаем мышью по оператору – появится окно изменения параметров суммирования (можно не изменять параметры сумматора, а добавить между сумматором и вторым интегрирующим блоком оператор домножения на "-1", но в данном руководстве рассмотрено только изменение параметров сумматора)

Рис. 2.19. Изменены параметры суммирования (будут сложены 2 отрицательных числа)

На другой вход сумматора должна быть подана вторая переменная, умноженная на "0,1". После построения второго входа сумматора система принимает вид

Рис. 2.20. Построена диссипативная система.

Мы построили диссипативную систему. График решения этой системы имеет вид

Рис. 2.21. График решения диссипативной системы

А фазовая плоскость

Рис. 2.22. Фазовая плоскость диссипативной системы

3. Система gbb1005 Ball&Beam Educational Control System («Шар и желоб»)

3.1. Введение

В предыдущем разделе была рассмотрена система дифференциальных уравнений 2 порядка. Материал предыдущего раздела являеся ознакомительным. В данном разделе будет рассмотрена система GBB1005Ball&BeamEducationalControlSystem(«Шар и желоб») с подробным выводом системы уравнений её движения в возмущённом и невозмущённом виде. Будет также построена схема решения системы уравнений движения системы с подробным объяснением каждого момента построения.