- •Матричные игры Варианты заданий
- •Элементы теории игр
- •Игры двух лиц с нулевой суммой
- •Смешанные стратегии
- •Методы определения оптимальных стратегий
- •Пример решения матричной игры 3×3
- •Ранжирование элементов систем Варианты заданий
- •Структурный анализ систем
- •Элементы теории графов
- •Алгебраическое представление графа
- •Ранжирование элементов систем
- •Сетевое планирование Задания Задача №1
- •Задача №2
- •Элементы теории сетей
- •Сетевое планирование
Алгебраическое представление графа
Помимо графического и теоретико-множественного часто используют и алгебраическое представлениеграфа в виде матрицы.
Рассмотрим орграф G, содержащийnвершин иmребер.Матрицей смежностиорграфаG называется матрицаA размераnn
,
где
Иногда матрицу смежности называют матрицей отношений, или матрицей непосредственных связей.
Матрицей инцидентности(илиматрицей инциденций) орграфаGназывается матрицаB размераnm, у которой
Для введения матрицы смежности нужно пронумеровать вершины, а для матрицы инцидентности - и ребра графа.
Алгебраическое представление позволяет алгоритмизировать в удобной для программирования на ЭВМ форме процедуру определения структурных количественных параметров системы.
Рассмотрим теперь некоторые методы решения практических задач, используя введенный нами математический формализм.
Ранжирование элементов систем
Анализ связей в графе заключается, прежде всего, в нахождении и оценке путей между его вершинами. Помимо непосредственного отыскания пути в некоторой системе коммуникаций к этой задаче относится, например, задача выбора оптимальной стратегии и др. Действительно, достаточно вершинам графа поставить в соответствие некоторые цели, а длинам путей - стоимости достижения этих целей, чтобы получить задачу выбора стратегии достижения цели с наименьшими издержками.
Поиски путей по чертежу при сложной структуре графа (на практике приходится анализировать графы с числом вершин более 100) затруднены и сопряжены с возможностью ошибок. Рассмотрим один из алгебраических методов, удобный для использования на ЭВМ. Этот метод позволяет, исходя из матрицы непосредственных связей , построитьполную матрицу путей, где- число путей из вершиныiк вершинеj(= 0), либо ограничиться отысканием одного из ее элементов.
Числа или их буквенные выражения определяются при помощи определителей особого рода -квазиминоров(беззнаковыхопределителей). Имеет место формула
.
Выражение называютквазиминором элементаматрицы. Знакявляется символом квазиминора, ауказывает на матрицу с вычеркнутымиl-й строкой иk-м столбцом, которая вписывается в символ квазиминора подобно матрице, вписываемой в символ обычного минора.
Вычисление квазиминора сводится к разложению его на квазиминоры меньшего порядка по формуле
Здесь
Процедура вычисления во многом сходна с процедурой вычисления обычных определителей, но для овладения этим методом требуется некоторый навык.
Пример.
Пусть матрица непосредственных связей имеет вид
Необходимо найти все пути, ведущие из вершины 1 в 5, и подсчитать их число.
Для рассматриваемого примера получаем
Первоначально в матрице вычеркивается столбец 1, соответствующий номеру вершины, от которой начинается путь, и строка 5, соответствующая номеру вершины, в которой путь заканчивается. Это соответствует удалению из графа всех ребер, ведущих в вершину 1 и выходящих из вершины 5. Положение и нумерацию остальных строк и столбцов удобнее оставить без изменения. Далее необходимо произвести разложение полученного квазиминора по ненулевым элементам 1-й строки
Разложение для первого слагаемого ведется по второй строке, второго - по третьей, третьего - по четвертой, т.е. номер строки, по которой ведется разложение, равен номеру столбца, в котором находился последний член разложения.
Если теперь положить для ненулевых элементов = 1 и произвести операции по правилам обычной арифметики, то получим -.
Если же в полученном выражении произвести действия по правилам булевой алгебры, то получим значение полной матрицы связей, которая характеризуетсвязность графа. Значения элементов полной матрицы связейопределяются так:
= 1, если вершина i связана с вершиной j хотя бы одним путем,
=0 в противном случае.
Обычно считают, что .
Связность - важнейшая характеристика структурной схемы системы. Структура тем лучше, чем полнее заполненность полной матрицы связей. Наличие большого числа нулей говорит о серьезных изъянах в структуре системы.
Другая важная характеристика структуры - распределение значимости элементов системы. Количественная характеристика значимости - ранг элемента- впервые явно была сформулирована при анализе структуры отношений доминирования (превосходства, преобладания) в группах индивидуумов (людей, животных).
Используя полную матрицу путей , значения рангов элементов определяются по формуле
.
Следует иметь в виду, что значимость элемента определяется не самим значением , а сравнением рангов всех элементов, т.е. ранг- это относительный показатель значимости.
Какие же практические рекомендации можно выработать, проведя ранжирование элементов системы?
Чем больше ранг данного элемента, тем большим числом путей он связан с другими элементами и тем для большего числа элементов нарушатся нормальные условия работы при его отказе. Следовательно, при формировании программы обеспечения надежности рассматриваемой системы необходимо уделить особое внимание элементам с большим рангом.
Для систем со структурой типа сетей наличие элементов с рангами, значительно большими, чем у остальных, обычно свидетельствует о функциональной перегрузке этих элементов. Желательно перераспределить связи, предусмотреть обходные пути, чтобы уравнять значимость элементов данной системы.
Существуют и другие методики определения рангов. Выбор подходящей методики определяется спецификой задачи.
Следует отметить, что имеются структуры, ранжирование элементов которых может потерять практический смысл. Это, прежде всего, иерархические структуры. Значимость элемента в них определяется уровнем иерархии.