![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •А.В. Михайлов
- •Утверждено
- •Москва 2009
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2 Основные этапы формулировки задачи.
- •1.3 Классификация оптимизационных задач.
- •1.4 Критерий оптимальности.
- •1.5. Условия оптимальности решения.
- •2.1. Постановка задачи. Методы решения оптимизационных задач.
- •2.3. Численные методы решения задачи (методы одномерного поиска).
- •2.3.1. Метод равномерного поиска
- •2.3.2. Метод последовательного равномерного поиска.
- •2.3.3. Метод дихотомии (Метод деления интервала неопределенности пополам)
- •2.3.4 Метод золотого сечения
- •3. Определение безусловного максимума функции нескольких переменных.
- •3.1. Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация. Линии равного уровня.
- •Аналитический метод решения задачи. Аналитический метод использует необходимое условие max функции нескольких переменных:
- •Численные методы решения задачи (методы многомерного поиска).
- •Метод направленного перебора.
- •3.3.2. Методы нулевого порядка.
- •3.3.2.1. Метод Гауса-Зайделя (покоординатного поиска).
- •Пример: Выполнить первый цикл поиска максимума функции:
- •3.3.2.2. Симплекс-метод
- •3.3.3. Численные методы первого порядка (градиентные)
- •3.3.3.2. Метод градиента.
- •3.3.3.3. Метод крутого восхождения.
- •4.1 Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация
- •4.2. Аналитические методы решения задачи
- •4.2.1. Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Теорема Куна-Таккера.
- •4.3. Численные методы решения задачи
- •4.3.1. Метод штрафных функций
- •5. Оптимизация многостадийных процессов
- •5.1. Постановка задачи на примере и ее формализация.
- •5.3. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана.
- •5.4. Задача определения оптимального пути на сетевом графике (графе).
- •6. Линейное программирование.
- •6.1. Постановка задачи линейного программирования и особенности ее решения.
- •7.Определение максимума функционала. (Вариационная задача оптимизации).
- •7.1. Пример постановки вариационной задачи.
- •7.2. Определение безусловного максимума функционала. (Классическая вариационная задача), (задача Эйлера).
- •7.3. Определение условного максимума функционала (неклассическое вариационное исчисление)
- •7.4. Определение условного максимума функционала с ограничениями типа дифференциальных уравнений. Принцип максимума Понтрягина.
- •8.1. Формирование критериев оптимальности.
- •8.2. Способы формирования сводного критерия оптимальности.
- •8.2.1. Свертка частных критериев с весовыми коэффициентами.
- •8.2.2. Использование нормативных критериев.
- •8.2.3. Приближение к идеалу.
- •8.2.4. Справедливый компромисс.
- •8.3. Оптимальность по Парето.
- •9. Типовые постановки задач оптимального управления технологическими процессами
- •9.1. Пуск и остановка единичного агрегата.
- •9.2. Пуск системы взаимосвязанных агрегатов.
- •9.3. Оптимизация статического установившегося режима.
- •9.4. Оптимизация циклического установившегося режима.
- •9.5. Оптимизация режима в аппарате периодического действия.
- •9.6. Календарное планирование работы аппарата
- •9.7 Оптимальный режим работы параллельно включенных агрегатов: распределение нагрузок.
- •9.7.1. Минимизация затрат.
- •9.7.2. Учет вероятностного характера нагрузки.
- •9.7.3. Учёт динамических факторов.
- •9.8. Оптимальный режим работы последовательно включенных агрегатов.
- •9.9. Согласование работы периодически или циклически действующих аппаратов.
3.3.3. Численные методы первого порядка (градиентные)
3.3.3.1. Постановка задачи.
Понятие градиента и его геометрическая интерпретация.
,
V:
, где
= 1,2…n.
Градиентом
функции
называется вектор в пространстве
варьируемых переменных
,
направление которого в данной точке
соответствует наискорейшему возрастанию
функции.
Построение вектора градиента производится по его проекциям на оси координат, которые равны частным производным целевой функции по соответствующим переменным.
,
в
max
В
двумерном случае в любой точке на
плоскости переменных
градиент направлен перпендикулярно
касательной, проведённой к линии равного
уровня в данной точке (рис. 3.8).
Рис. 3.8
3.3.3.2. Метод градиента.
Метод
градиента – это пошаговая процедура
поиска max
целевой функции
,
в которой каждый шаг поиска выполняется
в направлении градиента, исходящего из
предыдущей точки. Координата очередной
точки после К-го шага поиска определяется
по формуле:
(3.8),
где
-const,
определяющая величину К-го шага.
Выбор
производится, исходя из компромисса
между скоростью поиска (растет при
больших
)
и точностью (растёт при малых
).
Правильным считается такой выбор
,
при котором угол
между
направлениями вектора градиента в двух
последовательных точках находится в
пределах от 150
до 300.
О величине угла
удобно судить поcos
этого угла, который вычисляют как
отношение скалярного произведения
градиентов
и
к произведению их модулей.
(3.9)
При 150 ≤ α ≤ 300 0,85 ≤ cos α ≤ 0,95 (3.10)
Расчет производится следующим образом:
Выбирается начальная точка
(0)c координатами Xi(0), i=1,2…n.
Производится расчет проекций вектора градиента в начальной точке
.
Выбирается γ и по формуле (3.8) определяются координаты следующей точки
(1).
Производится расчет проекций вектора градиента в точке
(1).
По формуле (3.9) определяется cos α.
Если условие (3.10) выполняется, то проводится расчет по пунктам 3-5 для точек
(1) и
(2) и т. д. Если (3.10) не выполняется, то величина γ корректируется и повторяется расчет по пунктам 3-5 для точек
(0) и
(1).
Остановка
алгоритма производится при равенстве
с заданной точностью нулю вектора
градиента
или
или задается количество шаговN
и за решение принимается последняя
полученная точка
(N).
Как
видно из изложенного алгоритма, расчет
достаточно громоздкий, причем заранее
неизвестно, сколько раз придется
рассчитывать один и тот же шаг. Мало
того, что не определены критерии
первоначального выбора коэффициента
шага
,
но и нет гарантии, что повторный расчет
будет удачным и не придется пересчитывать
тот же самый шаг еще несколько раз.
Действительно, после первого неудачного
расчета шага мы получаем информацию
только о том нужно ли уменьшить шаг (в
случае
,
т.е.
)
или увеличить (
,
т.е.
),
но насколько надо изменить шаг, чтобы
второй расчет оказался стопроцентно
удачным, неизвестно. Этих недостатков
лишен метод крутого восхождения.