- •А.В. Михайлов
- •Утверждено
- •Москва 2009
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2 Основные этапы формулировки задачи.
- •1.3 Классификация оптимизационных задач.
- •1.4 Критерий оптимальности.
- •1.5. Условия оптимальности решения.
- •2.1. Постановка задачи. Методы решения оптимизационных задач.
- •2.3. Численные методы решения задачи (методы одномерного поиска).
- •2.3.1. Метод равномерного поиска
- •2.3.2. Метод последовательного равномерного поиска.
- •2.3.3. Метод дихотомии (Метод деления интервала неопределенности пополам)
- •2.3.4 Метод золотого сечения
- •3. Определение безусловного максимума функции нескольких переменных.
- •3.1. Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация. Линии равного уровня.
- •Аналитический метод решения задачи. Аналитический метод использует необходимое условие max функции нескольких переменных:
- •Численные методы решения задачи (методы многомерного поиска).
- •Метод направленного перебора.
- •3.3.2. Методы нулевого порядка.
- •3.3.2.1. Метод Гауса-Зайделя (покоординатного поиска).
- •Пример: Выполнить первый цикл поиска максимума функции:
- •3.3.2.2. Симплекс-метод
- •3.3.3. Численные методы первого порядка (градиентные)
- •3.3.3.2. Метод градиента.
- •3.3.3.3. Метод крутого восхождения.
- •4.1 Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация
- •4.2. Аналитические методы решения задачи
- •4.2.1. Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Теорема Куна-Таккера.
- •4.3. Численные методы решения задачи
- •4.3.1. Метод штрафных функций
- •5. Оптимизация многостадийных процессов
- •5.1. Постановка задачи на примере и ее формализация.
- •5.3. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана.
- •5.4. Задача определения оптимального пути на сетевом графике (графе).
- •6. Линейное программирование.
- •6.1. Постановка задачи линейного программирования и особенности ее решения.
- •7.Определение максимума функционала. (Вариационная задача оптимизации).
- •7.1. Пример постановки вариационной задачи.
- •7.2. Определение безусловного максимума функционала. (Классическая вариационная задача), (задача Эйлера).
- •7.3. Определение условного максимума функционала (неклассическое вариационное исчисление)
- •7.4. Определение условного максимума функционала с ограничениями типа дифференциальных уравнений. Принцип максимума Понтрягина.
- •8.1. Формирование критериев оптимальности.
- •8.2. Способы формирования сводного критерия оптимальности.
- •8.2.1. Свертка частных критериев с весовыми коэффициентами.
- •8.2.2. Использование нормативных критериев.
- •8.2.3. Приближение к идеалу.
- •8.2.4. Справедливый компромисс.
- •8.3. Оптимальность по Парето.
- •9. Типовые постановки задач оптимального управления технологическими процессами
- •9.1. Пуск и остановка единичного агрегата.
- •9.2. Пуск системы взаимосвязанных агрегатов.
- •9.3. Оптимизация статического установившегося режима.
- •9.4. Оптимизация циклического установившегося режима.
- •9.5. Оптимизация режима в аппарате периодического действия.
- •9.6. Календарное планирование работы аппарата
- •9.7 Оптимальный режим работы параллельно включенных агрегатов: распределение нагрузок.
- •9.7.1. Минимизация затрат.
- •9.7.2. Учет вероятностного характера нагрузки.
- •9.7.3. Учёт динамических факторов.
- •9.8. Оптимальный режим работы последовательно включенных агрегатов.
- •9.9. Согласование работы периодически или циклически действующих аппаратов.
2.3. Численные методы решения задачи (методы одномерного поиска).
Методы одномерного поиска представляют собой вычислительную процедуру, в ходе которой интервал возможных значений изменяется от заданного начального до конечного, не превышающего допустимую погрешность.
При использовании этих методов вычисляется значение целевой функции при ,выбирается таким образом, чтобы, гдеi – номер шага поиска.
Алгоритм поиска должен включать в себя:
правило перехода от к,
правило окончания поиска, которое связано с точностью определения , т.е. с величиной заданной допустимой погрешности.
Численные методы решения оптимизационных задач в основном представляют из себя итерационные вычислительные процедуры. Суть итерационных методов расчета заключается в том, что на каждой последующей итерации (этапе) расчета используются результаты, полученные на предыдущей итерации.
В оптимизационных задачах результаты предыдущей итерации используются для того, чтобы уменьшить область (для задач одномерного поиска-интервал), в которой будет искаться максимум на последующей итерации.
К неитерационным методам, где расчеты осуществляются в один этап, относятся методы, позволяющие работать с невыпуклыми функциями, имеющими несколько точек максимума. Одним из таких методов является метод равномерного поиска, рассматриваемый ниже.
2.3.1. Метод равномерного поиска
Пусть целевая функция, определенная наD: , необходимо найтис допустимой погрешностью (рис. 2.5)
Рис. 2.5
И
Рис. 2.5
После этого производится вычисление значений целевой функции во всех узловых точках и сравнивание их между собой. За решение задачи принимается значениеХ в узловой точке с наибольшим значением целевой функции.
Недостатком метода является его громоздкость, например при , что соответствует вычислению максимума с точностью 0,1% от величины исходного интервала неопределенности, число вычислений целевой функции, равное числу узлов. Преимуществом же данного метода, как отмечалось выше, является его пригодность к вычислению глобального максимума невыпуклых, или, по другому, не унимодальных функций.
Ниже приведенные итерационные методы одномерного поиска, пригодны только для определения максимума выпуклых (унимодальных) функций.
2.3.2. Метод последовательного равномерного поиска.
Итерационный метод, где на каждой итерации применяется метод равномерного поиска, причем интервал неопределенности уменьшается с каждой итерацией.
Рис. 2.6
Количество отрезков m, на которое делится интервал неопределенности L задается (на рис. 2.6 m=8). После каждой итерации интервал неопределенности уменьшается в пропорции (на рис. 2.6 в четыре раза). Заn итераций имеем , причем для обеспечения требуемой точности расчетов должно быть, откуда получаем(2.9).
Выражение (2.9) определяет число итераций, требуемое для решения задачи с заданной погрешностью . Общее количество расчетов целевой функции при этомNпр = (m+1) n.
Пусть m=10, =0,001. Логарифмируя (2.9), получим откуда- число итераций расчета.
, т.е. объем вычислений по сравнению с методом равномерного поиска уменьшается почти в 20 раз.