![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •А.В. Михайлов
- •Утверждено
- •Москва 2009
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2 Основные этапы формулировки задачи.
- •1.3 Классификация оптимизационных задач.
- •1.4 Критерий оптимальности.
- •1.5. Условия оптимальности решения.
- •2.1. Постановка задачи. Методы решения оптимизационных задач.
- •2.3. Численные методы решения задачи (методы одномерного поиска).
- •2.3.1. Метод равномерного поиска
- •2.3.2. Метод последовательного равномерного поиска.
- •2.3.3. Метод дихотомии (Метод деления интервала неопределенности пополам)
- •2.3.4 Метод золотого сечения
- •3. Определение безусловного максимума функции нескольких переменных.
- •3.1. Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация. Линии равного уровня.
- •Аналитический метод решения задачи. Аналитический метод использует необходимое условие max функции нескольких переменных:
- •Численные методы решения задачи (методы многомерного поиска).
- •Метод направленного перебора.
- •3.3.2. Методы нулевого порядка.
- •3.3.2.1. Метод Гауса-Зайделя (покоординатного поиска).
- •Пример: Выполнить первый цикл поиска максимума функции:
- •3.3.2.2. Симплекс-метод
- •3.3.3. Численные методы первого порядка (градиентные)
- •3.3.3.2. Метод градиента.
- •3.3.3.3. Метод крутого восхождения.
- •4.1 Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация
- •4.2. Аналитические методы решения задачи
- •4.2.1. Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Теорема Куна-Таккера.
- •4.3. Численные методы решения задачи
- •4.3.1. Метод штрафных функций
- •5. Оптимизация многостадийных процессов
- •5.1. Постановка задачи на примере и ее формализация.
- •5.3. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана.
- •5.4. Задача определения оптимального пути на сетевом графике (графе).
- •6. Линейное программирование.
- •6.1. Постановка задачи линейного программирования и особенности ее решения.
- •7.Определение максимума функционала. (Вариационная задача оптимизации).
- •7.1. Пример постановки вариационной задачи.
- •7.2. Определение безусловного максимума функционала. (Классическая вариационная задача), (задача Эйлера).
- •7.3. Определение условного максимума функционала (неклассическое вариационное исчисление)
- •7.4. Определение условного максимума функционала с ограничениями типа дифференциальных уравнений. Принцип максимума Понтрягина.
- •8.1. Формирование критериев оптимальности.
- •8.2. Способы формирования сводного критерия оптимальности.
- •8.2.1. Свертка частных критериев с весовыми коэффициентами.
- •8.2.2. Использование нормативных критериев.
- •8.2.3. Приближение к идеалу.
- •8.2.4. Справедливый компромисс.
- •8.3. Оптимальность по Парето.
- •9. Типовые постановки задач оптимального управления технологическими процессами
- •9.1. Пуск и остановка единичного агрегата.
- •9.2. Пуск системы взаимосвязанных агрегатов.
- •9.3. Оптимизация статического установившегося режима.
- •9.4. Оптимизация циклического установившегося режима.
- •9.5. Оптимизация режима в аппарате периодического действия.
- •9.6. Календарное планирование работы аппарата
- •9.7 Оптимальный режим работы параллельно включенных агрегатов: распределение нагрузок.
- •9.7.1. Минимизация затрат.
- •9.7.2. Учет вероятностного характера нагрузки.
- •9.7.3. Учёт динамических факторов.
- •9.8. Оптимальный режим работы последовательно включенных агрегатов.
- •9.9. Согласование работы периодически или циклически действующих аппаратов.
8.2.1. Свертка частных критериев с весовыми коэффициентами.
В
этом случае сводный критерий I представляет
собой сумму частных критериев
,
умноженных на соответствующие весовых
коэффициенты
.
Весовые
коэффициенты
учитывают
относительную важность того или иного
критерия и устанавливаются путем
экспертизы для конкретной задачи
оптимизации. Причем их значения должны
лежать в переделах от нуля до единицы,
а их сумма равняться единице.
Математическая постановка задачи:
(8.1)
где
;
(8.2)
Значения частных критериев при формировании сводного критерия должны быть либо безразмерными, либо иметь одинаковую размерность, для того, чтобы их суммирование имело смысл.
Геометрически,
применение критерия (8.1) приводит к
выбору на множестве I
такого вектора
у которого максимальна проекция на
прямую γ, такую, что квадраты ее
направляющих косинусов равны , в
.частности
8.2.2. Использование нормативных критериев.
Пусть
для каждого из частных критериев известно
некоторое нормативное значение
,
например среднее значениеIυ
для действующих аппаратов, аналогичных
оптимизируемому.
Тогда
отношение
характеризует степень совершенства
процесса с точки зренияυ
- го показателя.
Обозначим минимальное по υ
значение
через
.
В этом случае величина
может быть критерием оптимизации, т.е.
(8.3)
В
этом случае задача оптимизации состоит
в максимизации того относительного
частного показателя качества
,
который имеет наименьшее значение.
При
использовании критерия (8.3) можно быть
уверенным, что степень совершенства
оптимизируемого процесса по любому
показателю будет не ниже, чем величина
,
полученная в результате решения задачи
(8.3).
Практически
часто оказывается, что увеличение одного
из показателей
приводит к уменьшению другого. В этом
случае использование критерия (8.3) дает
такое оптимальное решение
,
для которого два или несколько значений
окажутся одинаковыми и равными значению
,
полученному в результате решения задачи.
8.2.3. Приближение к идеалу.
Пусть известны решения m задач оптимизации вида
;
υ=1,
…, m
(8.4)
В
результате найдены предельные значения
каждого из частных критериев оптимальности
без учета остальных. В пространстве
критериев точку
с координатами
называютидеалом.
Когда решения
задач (8.1) не одинаковы, идеал не принадлежит
множеству допустимых значений критериев
(см. рис. 8.1).
Однако
можно на втором этапе решения поставить
задачу определения такого достижимого
критерия
и соответствующего ему допустимого
решения
,
для которых расстояние от идеала было
бы минимальным, например
(8.5) или
(8.6)
В случае выбора критерия (8.5) минимизируется квадрат расстояния от достижимой оптимальной точки на плоскости критериев до точки идеала I*, при выборе критерия (8.6) минимизируется максимальное из расстояний от получаемой точки до точек максимума по частным критериям I1* или I2*.
8.2.4. Справедливый компромисс.
Выбор
решения в задаче с несколькими частными
критериями представляет собой компромисс,
т.к. увеличение одного показателя
качества часто приводит к уменьшению
другого. При справедливом компромиссе
стремятся к тому, чтобы в точке
сумма относительных изменений всех
показателей была равна нулю, т.е. в точке
должно быть выполнено равенство
(8.7)
Это равенство можно преобразовать к виду
(8.8)
Равенство
(8.8) является необходимым условием
максимума произведений
,
т.е. справедливый компромисс соответствует
сводному критерию
(8.9)
Заканчивая рассматривать способы формирования сводных критериев оптимальности отметим, что одним из самых распространенных способов увязки частных критериев является формирование критерия оптимальности в экономических терминах.