- •А.В. Михайлов
- •Утверждено
- •Москва 2009
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2 Основные этапы формулировки задачи.
- •1.3 Классификация оптимизационных задач.
- •1.4 Критерий оптимальности.
- •1.5. Условия оптимальности решения.
- •2.1. Постановка задачи. Методы решения оптимизационных задач.
- •2.3. Численные методы решения задачи (методы одномерного поиска).
- •2.3.1. Метод равномерного поиска
- •2.3.2. Метод последовательного равномерного поиска.
- •2.3.3. Метод дихотомии (Метод деления интервала неопределенности пополам)
- •2.3.4 Метод золотого сечения
- •3. Определение безусловного максимума функции нескольких переменных.
- •3.1. Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация. Линии равного уровня.
- •Аналитический метод решения задачи. Аналитический метод использует необходимое условие max функции нескольких переменных:
- •Численные методы решения задачи (методы многомерного поиска).
- •Метод направленного перебора.
- •3.3.2. Методы нулевого порядка.
- •3.3.2.1. Метод Гауса-Зайделя (покоординатного поиска).
- •Пример: Выполнить первый цикл поиска максимума функции:
- •3.3.2.2. Симплекс-метод
- •3.3.3. Численные методы первого порядка (градиентные)
- •3.3.3.2. Метод градиента.
- •3.3.3.3. Метод крутого восхождения.
- •4.1 Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация
- •4.2. Аналитические методы решения задачи
- •4.2.1. Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Теорема Куна-Таккера.
- •4.3. Численные методы решения задачи
- •4.3.1. Метод штрафных функций
- •5. Оптимизация многостадийных процессов
- •5.1. Постановка задачи на примере и ее формализация.
- •5.3. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана.
- •5.4. Задача определения оптимального пути на сетевом графике (графе).
- •6. Линейное программирование.
- •6.1. Постановка задачи линейного программирования и особенности ее решения.
- •7.Определение максимума функционала. (Вариационная задача оптимизации).
- •7.1. Пример постановки вариационной задачи.
- •7.2. Определение безусловного максимума функционала. (Классическая вариационная задача), (задача Эйлера).
- •7.3. Определение условного максимума функционала (неклассическое вариационное исчисление)
- •7.4. Определение условного максимума функционала с ограничениями типа дифференциальных уравнений. Принцип максимума Понтрягина.
- •8.1. Формирование критериев оптимальности.
- •8.2. Способы формирования сводного критерия оптимальности.
- •8.2.1. Свертка частных критериев с весовыми коэффициентами.
- •8.2.2. Использование нормативных критериев.
- •8.2.3. Приближение к идеалу.
- •8.2.4. Справедливый компромисс.
- •8.3. Оптимальность по Парето.
- •9. Типовые постановки задач оптимального управления технологическими процессами
- •9.1. Пуск и остановка единичного агрегата.
- •9.2. Пуск системы взаимосвязанных агрегатов.
- •9.3. Оптимизация статического установившегося режима.
- •9.4. Оптимизация циклического установившегося режима.
- •9.5. Оптимизация режима в аппарате периодического действия.
- •9.6. Календарное планирование работы аппарата
- •9.7 Оптимальный режим работы параллельно включенных агрегатов: распределение нагрузок.
- •9.7.1. Минимизация затрат.
- •9.7.2. Учет вероятностного характера нагрузки.
- •9.7.3. Учёт динамических факторов.
- •9.8. Оптимальный режим работы последовательно включенных агрегатов.
- •9.9. Согласование работы периодически или циклически действующих аппаратов.
7.Определение максимума функционала. (Вариационная задача оптимизации).
7.1. Пример постановки вариационной задачи.
Как указывалось выше (см. раздел 1.3), функционалом называется функция, аргументом которой является другая функция. Функционал обычно формируется в виде интеграла, определенного в некоторых пределах, и решить вариационную задачу, значит найти выражение функции, которая обеспечит максимум этого интеграла.
Рассмотрим постановку и решение оптимизационной задачи на простейшем примере.
Пример. Определить уравнение, описывающее функцию, график которой проходит через две заданных точки и имеют между ними наименьшую длину.
.
Рис. 7.1
Пусть одна из точек находится в начале координат , а другая в точке с координатами.- функция, проходящая через две точки (рис. 7.1),- элементарный участок функции
Рис.7.1.
Знак «минус» появился перед интегралом при переформулировании задачи нахождения минимума на задачу нахождения максимума.
- функционал, - экстремаль (максималь или минималь) - искомое уравнение функции, обеспечивающее экстремум функционала.
7.2. Определение безусловного максимума функционала. (Классическая вариационная задача), (задача Эйлера).
Постановка задачи:
(7.1)
Необходимое условие оптимальности определяется уравнением Эйлера.
(7.2)
Из выражения (7.2.) вытекают два частных случая:
Если явно не зависит от, то(7.3)
Если явно не зависит от, то, (7.4)
откуда следует (7.5)
Условие (7.2) дополняется следующим условием Лежандра
(7.6)
Если выполняются условия (7.2) и (7.6), то -максималь.
Рассмотрим решение примера, условия которого сформулированы в разделе 7.1.
Так как подынтегральная функция не зависит явно отY, то используем условие оптимальности Эйлера (7.5). Внеся минус под знак интеграла, получим.
, откуда получаем
,
, следовательно, ;
Отсюда следует, что .
Интегрируя, находим , гдеС3 – постоянная интегрирования.
Для нахождения значений С2 и С3 используем начальные условия задачи, т.е. координаты заданных точек: Y = 0 при X = 0, следовательно С3 = 0; Y = 1 при X = 1, следовательно С2 = 1.
Окончательно получаем
Проверка условия Лежандра. Учитывая, что (X)=1, имеем:
т.е. - максималь, что и требовалось доказать.
7.3. Определение условного максимума функционала (неклассическое вариационное исчисление)
(7.7)
(7.8)
Для решения задачи (7.7), (7.8) используется метод, аналогичный методу неопределенных множителей Лагранжа. Составляется функционал Лагранжа.
Доказано, что если функция является решением задачи (7.7), (7.8), то найдется такое значение, при которомобеспечивает безусловный максимум функционала Лагранжа.
Таким образом, необходимым условием оптимальности для задачи (7.7), (7.8) является условие максимума функции L по , .т.е.
(7.9)
В частности, если автономные ограничения отсутствуют, то условие (7.9) сводится к
(7.10)
Пример.
Так как автономные ограничения отсутствуют, применяем необходимые условия оптимальности в форме (7.10)
, откуда получаем Для нахождения λ подставляемY0(t) в интеграл ограничений.
,
Подставляя пределы интегрирования, получаем , откуда
Задача решена.
Найдем максимум критерия оптимальности.