- •А.В. Михайлов
- •Утверждено
- •Москва 2009
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2 Основные этапы формулировки задачи.
- •1.3 Классификация оптимизационных задач.
- •1.4 Критерий оптимальности.
- •1.5. Условия оптимальности решения.
- •2.1. Постановка задачи. Методы решения оптимизационных задач.
- •2.3. Численные методы решения задачи (методы одномерного поиска).
- •2.3.1. Метод равномерного поиска
- •2.3.2. Метод последовательного равномерного поиска.
- •2.3.3. Метод дихотомии (Метод деления интервала неопределенности пополам)
- •2.3.4 Метод золотого сечения
- •3. Определение безусловного максимума функции нескольких переменных.
- •3.1. Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация. Линии равного уровня.
- •Аналитический метод решения задачи. Аналитический метод использует необходимое условие max функции нескольких переменных:
- •Численные методы решения задачи (методы многомерного поиска).
- •Метод направленного перебора.
- •3.3.2. Методы нулевого порядка.
- •3.3.2.1. Метод Гауса-Зайделя (покоординатного поиска).
- •Пример: Выполнить первый цикл поиска максимума функции:
- •3.3.2.2. Симплекс-метод
- •3.3.3. Численные методы первого порядка (градиентные)
- •3.3.3.2. Метод градиента.
- •3.3.3.3. Метод крутого восхождения.
- •4.1 Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация
- •4.2. Аналитические методы решения задачи
- •4.2.1. Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Теорема Куна-Таккера.
- •4.3. Численные методы решения задачи
- •4.3.1. Метод штрафных функций
- •5. Оптимизация многостадийных процессов
- •5.1. Постановка задачи на примере и ее формализация.
- •5.3. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана.
- •5.4. Задача определения оптимального пути на сетевом графике (графе).
- •6. Линейное программирование.
- •6.1. Постановка задачи линейного программирования и особенности ее решения.
- •7.Определение максимума функционала. (Вариационная задача оптимизации).
- •7.1. Пример постановки вариационной задачи.
- •7.2. Определение безусловного максимума функционала. (Классическая вариационная задача), (задача Эйлера).
- •7.3. Определение условного максимума функционала (неклассическое вариационное исчисление)
- •7.4. Определение условного максимума функционала с ограничениями типа дифференциальных уравнений. Принцип максимума Понтрягина.
- •8.1. Формирование критериев оптимальности.
- •8.2. Способы формирования сводного критерия оптимальности.
- •8.2.1. Свертка частных критериев с весовыми коэффициентами.
- •8.2.2. Использование нормативных критериев.
- •8.2.3. Приближение к идеалу.
- •8.2.4. Справедливый компромисс.
- •8.3. Оптимальность по Парето.
- •9. Типовые постановки задач оптимального управления технологическими процессами
- •9.1. Пуск и остановка единичного агрегата.
- •9.2. Пуск системы взаимосвязанных агрегатов.
- •9.3. Оптимизация статического установившегося режима.
- •9.4. Оптимизация циклического установившегося режима.
- •9.5. Оптимизация режима в аппарате периодического действия.
- •9.6. Календарное планирование работы аппарата
- •9.7 Оптимальный режим работы параллельно включенных агрегатов: распределение нагрузок.
- •9.7.1. Минимизация затрат.
- •9.7.2. Учет вероятностного характера нагрузки.
- •9.7.3. Учёт динамических факторов.
- •9.8. Оптимальный режим работы последовательно включенных агрегатов.
- •9.9. Согласование работы периодически или циклически действующих аппаратов.
9.7.1. Минимизация затрат.
Пусть задан не суммарный расход сырья, а суммарная производительность P. Нужно выбрать состав и нагрузки действующих агрегатов, чтобы суммарные затраты были минимальны.
При этом затраты, связанные с i-м агрегатом, определяются в общем случае не только затратами на сырьё Ц, гдеЦ – стоимость единицы сырья, но и амортизационными отчислениями, зависящими от стоимости агрегата Аi и коэффициента амортизационных отчислений К. Величина Аi может включать и стоимость обслуживания i-го агрегата.
Задача примет вид
I=min
При этом нужно учесть ограничения (9.23).
9.7.2. Учет вероятностного характера нагрузки.
В некоторых случаях величину суммарного расхода сырья С следует считать случайной. Например, в системе параллельно работающих печей задан суммарный расход топлива. Однако, нагрузочная характеристика учитывает не расход топлива, а количество тепла, поступающего в печь с топливом. Таким образом С в условии (9.23) представляет собой суммарный расход энергии топлива, зависящий от его состава, который оперативно не измеряют или измеряют с большой ошибкой. В этом случае решение должно быть оптимально в среднем, на множестве возможных значений энергии, выделяемой единицей топлива, с учётом их вероятности.
9.7.3. Учёт динамических факторов.
Нагрузочная характеристика часто бывает определена не для всех значений Xi (см. рис. 9.2).
В частности, агрегат не может работать на отрезке [0 - Xi*], поэтому не каждое значение суммарной производительности, можно обеспечить, даже установив несколько агрегатов. В таких случаях может оказаться необходимым использование промежуточных емкостей (рис. 9. 3).
_
X
X(t)
P(t)
_
P
Рис. 9.3.
Производительность агрегата P(t) при такой схеме может периодически меняться и быть то больше, то меньше заданной , которая остается неизменной. При таком построении необходимо учесть ограничения на степень заполнения каждой ёмкости.
Переход к периодической производительности, которая в среднем равна заданной, может оказаться выгодней и в экономическом отношении.
Действительно, если часть периода агрегат работает при нагрузке Xi , а оставшуюся часть периода выключен, причём время работы выбрано так, что средний расход сырья за период равен Xi, то при определённых формах нагрузочной кривой может быть получена средняя за период производительность
i(Xi) > Pi (Xi*) – т.е. больше агрегата, работающего весь период при минимально допустимой нагрузке, причем расход сырья в обоих случаях будет одинаков.
Так, например, если для нагрузочной кривой, представленной на рис. 9.2, примем Xi* = 5, Xi* = 10, Pi (Xi*) = 1 Pi (Xi*) = 4 и период работы Т = 10, то, в случае работы агрегата весь период при минимальной нагрузке Xi* , имеем количество получаемого продукта S1 = Pi (Xi*) × T = 1 × 10 = 10 единиц,
при расходе сырья XiT = Xi* × T = 5 × 10 = 50 единиц,
а в случае работы агрегата полпериода при максимальной нагрузке имеем количество продукта S2 = Pi (Xi*) × 0, 5 × T = 4 × 0, 5 × 10 = 20 единиц,
при расходе сырья Xi 0,5T = Xi* × 0, 5 × T = 10 × 0, 5 × 10 = 50 единиц.
Таким образом, второй режим работы агрегата позволяет удвоить выход продукции без увеличения расхода сырья.