![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •А.В. Михайлов
- •Утверждено
- •Москва 2009
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2 Основные этапы формулировки задачи.
- •1.3 Классификация оптимизационных задач.
- •1.4 Критерий оптимальности.
- •1.5. Условия оптимальности решения.
- •2.1. Постановка задачи. Методы решения оптимизационных задач.
- •2.3. Численные методы решения задачи (методы одномерного поиска).
- •2.3.1. Метод равномерного поиска
- •2.3.2. Метод последовательного равномерного поиска.
- •2.3.3. Метод дихотомии (Метод деления интервала неопределенности пополам)
- •2.3.4 Метод золотого сечения
- •3. Определение безусловного максимума функции нескольких переменных.
- •3.1. Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация. Линии равного уровня.
- •Аналитический метод решения задачи. Аналитический метод использует необходимое условие max функции нескольких переменных:
- •Численные методы решения задачи (методы многомерного поиска).
- •Метод направленного перебора.
- •3.3.2. Методы нулевого порядка.
- •3.3.2.1. Метод Гауса-Зайделя (покоординатного поиска).
- •Пример: Выполнить первый цикл поиска максимума функции:
- •3.3.2.2. Симплекс-метод
- •3.3.3. Численные методы первого порядка (градиентные)
- •3.3.3.2. Метод градиента.
- •3.3.3.3. Метод крутого восхождения.
- •4.1 Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация
- •4.2. Аналитические методы решения задачи
- •4.2.1. Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Теорема Куна-Таккера.
- •4.3. Численные методы решения задачи
- •4.3.1. Метод штрафных функций
- •5. Оптимизация многостадийных процессов
- •5.1. Постановка задачи на примере и ее формализация.
- •5.3. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана.
- •5.4. Задача определения оптимального пути на сетевом графике (графе).
- •6. Линейное программирование.
- •6.1. Постановка задачи линейного программирования и особенности ее решения.
- •7.Определение максимума функционала. (Вариационная задача оптимизации).
- •7.1. Пример постановки вариационной задачи.
- •7.2. Определение безусловного максимума функционала. (Классическая вариационная задача), (задача Эйлера).
- •7.3. Определение условного максимума функционала (неклассическое вариационное исчисление)
- •7.4. Определение условного максимума функционала с ограничениями типа дифференциальных уравнений. Принцип максимума Понтрягина.
- •8.1. Формирование критериев оптимальности.
- •8.2. Способы формирования сводного критерия оптимальности.
- •8.2.1. Свертка частных критериев с весовыми коэффициентами.
- •8.2.2. Использование нормативных критериев.
- •8.2.3. Приближение к идеалу.
- •8.2.4. Справедливый компромисс.
- •8.3. Оптимальность по Парето.
- •9. Типовые постановки задач оптимального управления технологическими процессами
- •9.1. Пуск и остановка единичного агрегата.
- •9.2. Пуск системы взаимосвязанных агрегатов.
- •9.3. Оптимизация статического установившегося режима.
- •9.4. Оптимизация циклического установившегося режима.
- •9.5. Оптимизация режима в аппарате периодического действия.
- •9.6. Календарное планирование работы аппарата
- •9.7 Оптимальный режим работы параллельно включенных агрегатов: распределение нагрузок.
- •9.7.1. Минимизация затрат.
- •9.7.2. Учет вероятностного характера нагрузки.
- •9.7.3. Учёт динамических факторов.
- •9.8. Оптимальный режим работы последовательно включенных агрегатов.
- •9.9. Согласование работы периодически или циклически действующих аппаратов.
3. Определение безусловного максимума функции нескольких переменных.
3.1. Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация. Линии равного уровня.
(3.1).
по вектору
,
где
и область допустимых значенийV
задана условиями
(3.2).
Заметим, что в дальнейшем все области допустимых значений варьируемых переменных, задаваемые только в виде автономных ограничений (3.2) будем обозначать буквой V, а области, где присутствуют ограничения типа связи и (или) функциональные ограничения по-прежнему буквой D.
Таким
образом по постановке задачи сразу
можно будет отличать задачу на нахождение
целевого максимума
,
от задачи на нахождение безусловного
максимума
.
Рис. 3.1.
Рассмотрим
- функция двух переменных (рис. 3.1). Для
ее изображения необходимо трехмерное
пространство, что неудобно. Поэтому
функцию двух переменных обычно изображают
на плоскости варьируемых переменных
X1,
X2
в виде линий равного уровня (рис. 3.2).
Координаты X1
и X2
любой точки линии равного уровня дадут
одно и то же значение целевой функции
.
Внутри линий равного уровня отображается
точка максимумаM.
Чем ближе расположена линия равного
уровня к точке максимума, тем большему
значению целевой функции она соответствует.
Так на рисунке 3.1 имеем С2
> С1.
Задавая
границы
и
i=1,2
получаем множество допустимых значений
варьируемых переменных V
в виде
прямоугольника (рис. 3.2).
Рис. 3.2
Если
вV
имеет единственный max,
то функция выпукла, иначе может быть
несколько решений (локальных максимумов
- точки М1
и М2
на рис. 3.3), среди которых необходимо
выбрать наибольшее (глобальный максимум).
Методы определения максимума здесь также делятся на аналитические и численные.
Рис.
3.3
Аналитический метод решения задачи. Аналитический метод использует необходимое условие max функции нескольких переменных:
Для
того чтобы в точке
функция
,
необходимо, чтобы
(3.3),
для всехi=1,2…n. Для
выделения точек максимума необходимо
также проверить знаки диагональных
миноров матрицы вторых производных
(матрицы Гессе).
В общем случае:
(3.4)
Для функции двух переменных:
(3.5)
(3.6)
где
-
главный определитель матрицы.
В зависимости от знака возможны три случая:
0 – экстремум отсутствует, точка перегиба,
= 0 – требуется дополнительное исследование,
0 – экстремум есть, причем в случае
0
и
0, это max,
а при
0
и
0 – min.
Пример.
Определить максимум функции
;
Откуда
,
0
0
,
откуда
0, т.е.
,
- точкаmax,
т.к.
0 и
0.
Численные методы решения задачи (методы многомерного поиска).
Численные
методы многомерного поиска будем
рассматривать на примере нахождения
максимума функции двух переменных.
Такие функции, как показано выше (раздел
3.1.), изображаются на плоскости
в виде линий равного уровня.
Наложение
автономных ограничений на переменные
приводит к выделению на плоскости
области допустимых решенийV
в виде прямоугольника(рис. 3.4).
Метод направленного перебора.
Данный метод аналогичен методу равномерного поиска для функции одной переменной.
Делим
области допустимых значений
и
на равные отрезки таким образом, чтобы
количество отрезков по обеим осям было
равно
,
где
- величина допустимой погрешности.
.
Проведя перпендикуляры к осям во всех
выделенных точках, получаем сетку на
плоскостиX1,
X2
с количеством узлов
(рис. 3.4). Вычисляем значения
во всех узлах (рис. 3.4.). Сравниваем
полученные значения и за решение
принимаем координаты узла с наибольшим
значением целевой функции
.
Рис. 3.4.
Чем меньше шаг сетки, тем точнее результат, но и выше трудоемкость. На практике данный метод применяется только для вычисления глобального максимума невыпуклых функций.
Все остальные применяемые на практике методы, представляют собой итерационные многошаговые процедуры, в которых на каждом шаге расчета должно получаться большее значение целевой функции, чем на предыдущем.
Каждый метод включает в себя:
правило перехода от одного шага к другому,
правило остановки расчета.
В зависимости от правила перехода численные методы делятся на:
методы нулевого порядка, в которых правило перехода требует вычисления только самой целевой функции,
методы первого порядка (градиентные методы) в которых требуется вычисление первых частных производных целевой функции,
методы второго порядка – требуют вычисления вторых частных производных целевой функции.
Ниже будут рассмотрены только методы нулевого и первого порядков, т.к. в задачах оптимизации с возможными неточностями в исходных данных и с функциями, заданными алгоритмически, характерными для оптимизации технологических процессов, вычисление матрицы вторых производных приводит к значительным ошибкам и методы второго порядка не находят применения.