179
МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ Виды метрических задач
Метрическими называют задачи, связанные с нахождением истинных величин оригиналов. Например, расстояний и углов. При решении метрических задач важно определить искомые элементы. Если в ходе решения задачи необходимо преобразование проекций, то следует выбрать наиболее рациональный способ преобразования с точки зрения простоты построений и наглядности чертежа.
ЗАДАЧИ
Нахождение расстояний
Пример «Нахождение истинной величины отрезка способом прямоугольного треугольника»
Условие задачи: Определить истинную величину отрезка АВ, занимающего общее положение по отношению к плоскостям проекций.
Дано: [ АВ ] – о.п. Найти: | AB |, [ АВ ] || П′ Чертёж к задаче: рис.258.
Рис.258
180
Задача на нахождение расстояний Варианты решения:
1.Преобразование проекций Цель: [ АВ ] – о.п. → [ АВ ] || П′
Способы:
замена плоскостей проекций (ЗПП) – 1 преобразование; плоскопараллельный перенос (ППП) – 1 преобразование; вращение вокруг проецирующей прямой (ВрПр) – 1 преобразование.
2.Способ прямоугольного треугольника.
Использование этого способа позволяет найти на чертеже истинную величину отрезка, не прибегая к преобразованию проекций. Спроецируем ортогонально отрезок CD на плоскость П′ (рис.259).
Рис. 259
Образовался прямоугольный треугольник CDP, в котором сам отрезок CD является гипотенузой. Один из катетов – CP – равен по
181
величине проекции отрезка C′D′. Другой катет – DP – равен по величине разности расстояний до плоскости П′ точек C и D.
Таким образом, сущность способа прямоугольного треугольника состоит в следующем: для нахождения истинной величины отрезка на чертеже необходимо построить прямоугольный треугольник, в котором один из катетов - любая из проекций отрезка, длина другого катета равна разности расстояний точек - концов отрезка - от плоскости проекций, а истинная величина равна длине гипотенузы.
Одновременно можно определить - угол наклона отрезка прямой CD к плоскости проекций П′.
На рис.260 в качестве одного из катетов взята фронтальная проекция
отрезка MN. |
|
|
Следовательно, необходимо найти разность |
расстояний точек |
M |
и N от фронтальной плоскости проекций, то |
есть сравнить |
их |
координаты по оси 0y. |
|
|
182
Рис.260 Достроив на фронтальной проекции прямоугольный треугольник,
определим истинную величину отрезка MN (рис.261).
Рис.261
На рис.262 показано построение прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции.
183
Рис.262
Расстояние между двумя точками Задача 136. Определить истинную величину расстояния между
двумя точками, заданными координатами A (30, 10, 30) и В (70, 20, 10). Задача 137. Определить истинную величину отрезка общего
положения.
Расстояние от точки до прямой Задача 138. Дана проецирующая прямая и точка, не инцидентная
данной прямой. Найти расстояние от точки до прямой.
Задача 139. Дана прямая, являющаяся линией уровня и точка, не инцидентная данной прямой. Найти расстояние от точки до прямой.
Задача 140. Дана прямая общего положения и точка, не инцидентная данной прямой. Найти расстояние от точки до прямой.
Задача 141. На чертеже заданы проекции трёх точек А, В, С и прямых m, d и p (рис.263). В каком случае истинную величину расстояния от точки до прямой можно определить, не прибегая к преобразованию проекций?
184
Рис.263
Расстояние между прямыми Задача 142. Даны две проецирующие прямые, параллельные друг
другу. Найти расстояние между заданными прямыми.
Задача 143. Даны две прямые, являющиеся линиями уровня, параллельные друг другу. Найти расстояние между заданными прямыми. Рассмотреть различные варианты исходных данных.
Задача 144. Даны две прямые общего положения, параллельные друг другу. Найти расстояние между заданными прямыми. Рассмотреть различные варианты исходных данных.
Задача 145. Даны две скрещивающиеся прямые, одна из которых является проецирующей. Найти расстояние между прямыми.
Задача 146. Даны две скрещивающиеся прямые, одна из которых является линией уровня. Найти расстояние между прямыми.
Задача 147. Даны две скрещивающиеся прямые общего положения. Найти расстояние между прямыми.
Задача 148. На чертеже заданы проекции трёх пар параллельных прямых m и n, d и f, k и p (рис.264). В каком случае истинную величину расстояния между параллельными прямыми можно определить, не прибегая к преобразованию проекций?