MLTA_dlya_vsekh (1) / Электронные лекции 2013 / лекция 2
.pdf1
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
Бригаднов Игорь Альбертович
доктор физико-математических наук, профессор
2
Лекция 2
ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
2.1. Основные определения
Определение 2.0.а. Предикат - это повествовательное предложение, содержащее
предметные переменные из заданного множества M, замена которых на фиксированные значения из M превращает рассматриваемое предложение в высказывание
– истинное или ложное.
3
Определение 2.0.б. Выражение A(x1,x2,...,xn),
содержащее предметные переменные x1 M1, x2 M2,..., xn Mn, называется n-местным предикатом, если оно выражает некоторое n-местное отношение на множестве M=M1 M2 ... Mn .
Например, предложение A(x,y)="x вращается вокруг
y" - это 2-местный предикат на множестве M={Солнце,
Земля, Луна, Марс}.
Предикат – это отображение множества M на множество {0,1}
4
Определение 2.1а. Подмножество TA M
называется множеством истинности
предиката A(x), определенного на множестве M,
если A(x)=1 для любого x TA .
Например, множество истинности предиката
A(x,y)="x вращается вокруг y" на множестве
M={Солнце, Земля, Луна, Марс} – это множество упорядоченных пар (кортежей) TA ={(Земля, Солнце), (Луна, Земля), (Марс, Солнце), (Луна, Солнце)}.
5
Определение 2.1б. Предикат A(x), определенный на множестве M, называется:
тождественно истинным, если для любых аргументов его значение есть "истина", т.е. TA M ;
тождественно ложным, если для любых аргументов его значение есть "ложь", т.е. TA ;
выполнимым, если существует, по крайней мере, одна система его n аргументов, для которой значение предиката есть "истина", т.е. TA M .
Предикат A(x,y)="x+y=y+x" является тождественно истинным, предикат B(x)="x+1=x" – тождественно ложным, предикат C(x,y)="x+y=5" – выполнимым.
6
Рассмотрим предикаты A(x1,x2,...,xn) и B(x1,x2,...,xn),
определенные на одном множестве M=M1 M2 ... Mn.
Для построения формул логики предикатов используются логические операции отрицания,
конъюнкции и дизъюнкции.
Определение 2.2. Отрицанием предиката
A(x1,x2,...,xn) называется новый n-местный предикат
A(x1,x2,... xn), множество истинности которого является дополнением множества истинности предиката A(x1,x2,...,xn), т.е. TA M \TA.
7
Определение 2.3. Конъюнкцией предикатов
A(x1,x2,...,xn) и B(x1,x2,...,xn) называется новый n-местный предикат
C(x1,x2,...,xn)=A(x1,x2,...,xn ) B(x1,x2,...,xn),
множество истинности которого есть пересечение
множеств истинности A(x1,x2,..., xn) и B(x1,x2,..., xn), т.е.
TC TA B TA TB .
8
Определение 2.4. Дизъюнкцией предикатов
A(x1,x2,...,xn) и B(x1,x2,...,xn) называется новый n-местный предикат
D(x1,x2,...,xn)=A(x1,x2,...,xn) B(x1,x2,...,xn),
множество истинности которого есть объединение
множеств истинности A(x1,x2,...,xn) и B(x1,x2,...,xn), т.е.
TD TA B TA TB.
9
В логике предикатов, как и в логике высказываний,
можно определить операции импликации и эквивалентности через операции отрицания,
конъюнкции и дизъюнкции с соответствующим преобразованием множеств истинности, используя формулы преобразования
A B = A B
и, например,
A B = A B AB .
10
Для предикатов A(x1,x2,...,xn) и B(x1,x2,...,xn),
определенных на множестве M=M1 M2 ... Mn, имеем:
Определение 2.5а. Импликацией предикатов
A(x1,x2,...,xn) и B(x1,x2,...,xn) называется новый n-местный предикат
E(x1,x2,...,xn)=A(x1,x2,...,xn) B(x1,x2,...,xn),
множество истинности которого преобразуется по
правилу TE TA B TA TB.